関数 $y = x^2 e^x$ の微分 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 e^x$ の微分 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法則を用います。積の微分法則とは、$u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が次のようになるというものです。

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

今回の問題では、$u(x) = x^2$、 $v(x) = e^x$ とおきます。

それぞれの微分は次のようになります。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

したがって、$y'$ は

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = (2x)(e^x) + (x^2)(e^x)$

となります。

これを整理すると、$y' = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x = x(x+2)e^x$ となります。

3. 最終的な答え

$y' = (x^2 + 2x)e^x = x(x+2)e^x$