## 問題の解答

## 問題の解答

### 問題1：次の関数を微分せよ。

a) $(3x-1)^3$

b) $\log(3x)$

c) $e^{2x^2}$

d) $\sin(\cos x)$

### 解き方の手順

a) 合成関数の微分法を用いる。$y = u^3$, $u = 3x - 1$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9(3x-1)^2$

b) 合成関数の微分法を用いる。$y = \log(u)$, $u = 3x$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$

c) 合成関数の微分法を用いる。$y = e^u$, $u = 2x^2$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 4x = 4xe^{2x^2}$

d) 合成関数の微分法を2回用いる。$y = \sin(u)$, $u = \cos(x)$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot (-\sin(x)) = -\sin(x)\cos(\cos x)$

### 最終的な答え

a) $9(3x-1)^2$

b) $\frac{1}{x}$

c) $4xe^{2x^2}$

d) $-\sin(x)\cos(\cos x)$

### 問題2：次の極限値を求めよ。

a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$

### 解き方の手順

a) ロピタルの定理を2回用いる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

b) $\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots)^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x^3 + O(x^4)}{2x^2} = \frac{1}{2}$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \log(1-x) \cdot \frac{-1}{1-x}}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\log(1-x)}{4x(1-x)}$

さらにロピタルの定理を用いる。

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1-x}}{4(1-x) + 4x(-1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{4(1-x)^2 - 4x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

### 最終的な答え

a) $0$

b) $\frac{1}{2}$

### 問題3：関数 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の最大値と最小値を求めよ。

### 解き方の手順

まず、微分を計算する。

$f'(x) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm 1$のとき。

$f'(x)$の符号を調べると、$x < -1$で$f'(x) < 0$, $-1 < x < 1$で$f'(x) > 0$, $x > 1$で$f'(x) < 0$となる。

したがって、$x = -1$で極小値、$x = 1$で極大値をとる。

$f(-1) = \frac{-1}{1+(-1)^2} = -\frac{1}{2}$

$f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}$

また、$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{1+x^2} = 0$ なので、極値が最大値・最小値となる。

### 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$ (x=1)

最小値: $-\frac{1}{2}$ (x=-1)

### 問題4：次の定積分の値を求めよ。

a) $\int_1^2 \frac{1}{x^2} dx$

b) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$

### 解き方の手順

a) $\int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \int_1^2 x^{-2} dx = [-x^{-1}]_1^2 = [-\frac{1}{x}]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$

b) 分母を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(x+2)-(x+1)} = \sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$

$\int_0^1 (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx = \int_0^1 ((x+2)^{\frac{1}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}}) dx = [\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}]_0^1 = \frac{2}{3}[(3^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}) - (2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}})] = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 4\sqrt{2} + 1)$

### 最終的な答え

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 4\sqrt{2} + 1)$

### 問題5：次の問に答えよ。

a) $t = \sin^{-1}x$ であるとき、$\frac{dx}{dt}$を求めよ。

b) $t(0)$と$t(1)$を求めよ。

c) 定積分 $\int_0^1 \sin^{-1}x dx$ を求めよ。

### 解き方の手順

a) $t = \sin^{-1}x$ より $x = \sin t$。

したがって、$\frac{dx}{dt} = \cos t$。

$x = \sin t$ より $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$。

よって、$\frac{dx}{dt} = \sqrt{1 - x^2}$

b) $t(0) = \sin^{-1}(0) = 0$

$t(1) = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$

c) $\int_0^1 \sin^{-1}x dx$ を部分積分で計算する。

$u = \sin^{-1}x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx, v = x$。

$\int_0^1 \sin^{-1}x dx = [x \sin^{-1}x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = (1 \cdot \sin^{-1}1 - 0 \cdot \sin^{-1}0) - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。

$w = 1 - x^2$とすると、$dw = -2x dx$。

$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int_1^0 \frac{1}{\sqrt{w}} dw = \frac{1}{2} \int_0^1 w^{-\frac{1}{2}} dw = \frac{1}{2} [2w^{\frac{1}{2}}]_0^1 = [w^{\frac{1}{2}}]_0^1 = 1 - 0 = 1$

したがって、$\int_0^1 \sin^{-1}x dx = \frac{\pi}{2} - 1$

### 最終的な答え

a) $\frac{dx}{dt} = \sqrt{1 - x^2}$

b) $t(0) = 0$, $t(1) = \frac{\pi}{2}$

c) $\int_0^1 \sin^{-1}x dx = \frac{\pi}{2} - 1$