与えられた極限を求めます。 $$ \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求めます。

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\lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h}

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2. 解き方の手順

$\sin$ 関数の値域は $-1$ から $1$ の間であるため、次の不等式が成り立ちます。

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-1 \leq \sin \frac{1}{h} \leq 1

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この不等式の各辺に $h$ をかけます。

$h > 0$ のとき、

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-h \leq h \sin \frac{1}{h} \leq h

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$h < 0$ のとき、

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-h \geq h \sin \frac{1}{h} \geq h

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これは、

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h \leq h \sin \frac{1}{h} \leq -h

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と書き換えられます。

$h \to 0$ を考えると、

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\lim_{h \to 0} -h = 0

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および

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\lim_{h \to 0} h = 0

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です。

したがって、はさみうちの原理より、

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\lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0

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です。

3. 最終的な答え

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\lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0

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