関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) の逆関数を $g(x)$ とする。 (1) $g(x)$ の定義域を求める。 (2) $g(x)$ を求める。 (3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求め、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) の逆関数を $g(x)$ とする。

(1) $g(x)$ の定義域を求める。

(2) $g(x)$ を求める。

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求め、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $g(x)$ の定義域は、関数 $f(x)$ の値域に等しい。$f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$ であるから、$x \ge -\frac{1}{2}$ において、$f(x) \ge \frac{1}{2}$ となる。したがって、$g(x)$ の定義域は $x \ge \frac{1}{2}$ である。

(2) $y = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) を $x$ について解く。

$2x^2 + 2x + (1 - y) = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8(1 - y)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2y - 1}}{2}$

$x \ge -\frac{1}{2}$ より、$x = \frac{-1 + \sqrt{2y - 1}}{2}$

$x$ と $y$ を入れ替えると、

$g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点 $(t, g(t))$ と直線 $y = 2x - 1$ の距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|2t - g(t) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2t - \frac{-1 + \sqrt{2t - 1}}{2} - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|4t + 1 - \sqrt{2t - 1} - 2|}{2\sqrt{5}} = \frac{|4t - 1 - \sqrt{2t - 1}|}{2\sqrt{5}}$

$u = \sqrt{2t - 1}$ とおくと、$2t = u^2 + 1$ となり、$4t - 1 = 2u^2 + 1$ となる。

$d = \frac{|2u^2 - u + 1|}{2\sqrt{5}}$

$f(u) = 2u^2 - u + 1$ とすると、$f(u) = 2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$ である。

$u \ge 0$ より、$u = \frac{1}{4}$ のとき、$f(u)$ は最小値 $\frac{7}{8}$ をとる。

よって、距離の最小値は $\frac{7}{16\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{80}$ である。

$u = \frac{1}{4}$ のとき、$2t - 1 = \frac{1}{16}$ より、$2t = \frac{17}{16}$ となり、$t = \frac{17}{32}$

$g(\frac{17}{32}) = \frac{-1 + \sqrt{2(\frac{17}{32}) - 1}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{1}{16}}}{2} = \frac{-1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{-\frac{3}{4}}{2} = -\frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \ge \frac{1}{2}$

(2) $g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 最小値: $\frac{7\sqrt{5}}{80}$, 点: $(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$

誤りがありました。距離の計算における式の変形に誤りがありました。

$d = \frac{|2t - \frac{-1 + \sqrt{2t - 1}}{2} - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|4t + 1 - \sqrt{2t - 1} - 2|}{2\sqrt{5}} = \frac{|4t - 1 - \sqrt{2t - 1}|}{2\sqrt{5}}$

$u = \sqrt{2t - 1}$ とおくと、$2t = u^2 + 1$ となり、$4t - 1 = 2u^2 + 1$ となる。

$d = \frac{|2u^2 + 1 - u - 1|}{2\sqrt{5}} = \frac{|2u^2 - u|}{2\sqrt{5}} = \frac{|u(2u - 1)|}{2\sqrt{5}}$

$u \ge 0$ より、$u(2u - 1) \ge -\frac{1}{8}$ であり、$u = \frac{1}{4}$ のとき最小値$-\frac{1}{8}$を取るが、絶対値が付いているので、u = 0 のとき最小値0を取る。

$u = 0$ のとき、$2t - 1 = 0$ より、$t = \frac{1}{2}$

最小値: 0

点: $(\frac{1}{2}, 0)$

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \ge \frac{1}{2}$

(2) $g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 最小値: 0, 点: $(\frac{1}{2}, 0)$

最終解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) の逆関数を $g(x)$ とする。

(1) $g(x)$ の定義域を求める。

(2) $g(x)$ を求める。

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求め、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $g(x)$ の定義域は、関数 $f(x)$ の値域に等しい。$f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$ であるから、$x \ge -\frac{1}{2}$ において、$f(x) \ge \frac{1}{2}$ となる。したがって、$g(x)$ の定義域は $x \ge \frac{1}{2}$ である。

(2) $y = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) を $x$ について解く。

$2x^2 + 2x + (1 - y) = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8(1 - y)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2y - 1}}{2}$

$x \ge -\frac{1}{2}$ より、$x = \frac{-1 + \sqrt{2y - 1}}{2}$

$x$ と $y$ を入れ替えると、

$g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点 $(t, g(t))$ と直線 $2x - y - 1 = 0$ の距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|2t - g(t) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2t - \frac{-1 + \sqrt{2t - 1}}{2} - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|4t + 1 - \sqrt{2t - 1} - 2|}{2\sqrt{5}} = \frac{|4t - 1 - \sqrt{2t - 1}|}{2\sqrt{5}}$

ここで、直線 $y = 2x - 1$ と $y = g(x)$ が接するとき、$4t - 1 - \sqrt{2t-1} = 0$が成り立つ必要はない。

$d$が最小となるのは、$g(x)$上の点と直線が接する場合ではなく、$g(x)$と直線が並行になる場合である。

$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (2x - 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{2\sqrt{2x - 1}}$

$g'(x) = 2$ となるのは、$2\sqrt{2x - 1} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{2x - 1} = \frac{1}{4} \implies 2x - 1 = \frac{1}{16} \implies 2x = \frac{17}{16} \implies x = \frac{17}{32}$

$y = g(\frac{17}{32}) = \frac{-1 + \sqrt{\frac{17}{16} - 1}}{2} = \frac{-1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{-3}{8}$

したがって、$(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$における接線の傾きは2である。

$(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$と直線$y = 2x - 1$の距離は、

$\frac{|2(\frac{17}{32}) - (-\frac{3}{8}) - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|\frac{17}{16} + \frac{3}{8} - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|\frac{17 + 6 - 16}{16}|}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{7}{16}}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{80}$

$h(x) = g(x) - (2x -1)$が最小となるxを求める

$h'(x) = g'(x) - 2 = 0$となるxを求める。上記の計算から$x = \frac{17}{32}$

$d$の最小値は$(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$における距離$\frac{7\sqrt{5}}{80}$

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \ge \frac{1}{2}$

(2) $g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 最小値: $\frac{7\sqrt{5}}{80}$, 点: $(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$