関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ （定義域は $x \geq -\frac{1}{2}$）の逆関数を $g(x)$ とする。 (1) $g(x)$ の定義域を求めよ。 (2) $g(x)$ を求めよ。 (3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求めよ。また、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ （定義域は $x \geq -\frac{1}{2}$）の逆関数を $g(x)$ とする。

(1) $g(x)$ の定義域を求めよ。

(2) $g(x)$ を求めよ。

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求めよ。また、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $g(x)$の定義域は、$f(x)$の値域に等しい。$f(x) = 2(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$ であり、$x \geq -\frac{1}{2}$ であるから、$f(x) \geq \frac{1}{2}$。よって、$g(x)$ の定義域は $x \geq \frac{1}{2}$。

(2) $y = 2x^2 + 2x + 1$ とする。$x \geq -\frac{1}{2}$ のとき、$y \geq \frac{1}{2}$。

$x$ と $y$ を入れ替えて、$x = 2y^2 + 2y + 1$。

$2y^2 + 2y + (1-x) = 0$。

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8(1-x)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2x-1}}{2}$。

$x \geq \frac{1}{2}$ のとき、$2x-1 \geq 0$。

$y \geq -\frac{1}{2}$ なので、$y = \frac{-1 + \sqrt{2x-1}}{2}$。

よって、$g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x-1}}{2}$。

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点 $(t, g(t))$ と直線 $y = 2x - 1$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|2t - 1 - g(t)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2t - 1 - \frac{-1 + \sqrt{2t-1}}{2}|}{\sqrt{5}} = \frac{|4t - 2 + 1 - \sqrt{2t-1}|}{2\sqrt{5}} = \frac{|4t - 1 - \sqrt{2t-1}|}{2\sqrt{5}}$。

ここで、$u = \sqrt{2t - 1}$ とおくと、$u^2 = 2t - 1$ より $t = \frac{u^2+1}{2}$。

$d = \frac{|4(\frac{u^2+1}{2}) - 1 - u|}{2\sqrt{5}} = \frac{|2u^2 - u + 1|}{2\sqrt{5}} = \frac{2u^2 - u + 1}{2\sqrt{5}}$

（なぜなら $2u^2 - u + 1 = 2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} > 0$）。

$d = \frac{2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}}{2\sqrt{5}} = \frac{(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{16}}{\sqrt{5}}$。

$d$ は $u = \frac{1}{4}$ のとき最小値 $\frac{7}{16\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{80}$ をとる。

$u = \frac{1}{4}$ のとき、$t = \frac{u^2+1}{2} = \frac{\frac{1}{16} + 1}{2} = \frac{17}{32}$。

このとき、$g(t) = \frac{-1 + \sqrt{2t-1}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{17}{16}-1}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{1}{16}}}{2} = \frac{-1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{-\frac{3}{4}}{2} = -\frac{3}{8}$。

$u = \sqrt{2t-1}=\frac{1}{4}$

$2t-1 = \frac{1}{16}$

$2t = \frac{17}{16}$

$t = \frac{17}{32}$

$y = g(t) = g(\frac{17}{32}) = \frac{-1+\sqrt{2*\frac{17}{32}-1}}{2}=\frac{-1+\frac{1}{4}}{2} = \frac{-\frac{3}{4}}{2} = -\frac{3}{8}$。

最小値を与える点は $(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq \frac{1}{2}$

(2) $g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x-1}}{2}$

(3) 最小値: $\frac{7\sqrt{5}}{80}$, 点: $(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$