2変数関数 $f(x, y) = \frac{x-1}{y^2 + 1} - x$ が与えられたとき、有界閉集合 $S = \{(x, y) | 0 \le x \le 4 - y^2\}$ における $f$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \frac{x-1}{y^2 + 1} - x$ が与えられたとき、有界閉集合 $S = \{(x, y) | 0 \le x \le 4 - y^2\}$ における $f$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$S$の内部で極値を求めます。

偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y^2+1} - 1$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y(x-1)}{(y^2+1)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ より、$\frac{1}{y^2+1} = 1$ となり、$y^2 = 0$、つまり $y = 0$ です。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ より、$y=0$ または $x=1$ です。

したがって、停留点$(x, y)$ は $y = 0$ のとき $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ となるので、$0 \le x \le 4 - y^2 = 4$ です。

$x = 1$ のとき $y = 0$ なので、停留点 $(1, 0)$ を得ます。

$f(1, 0) = \frac{1-1}{0+1} - 1 = -1$

次に、境界 $x = 0$ および $x = 4-y^2$ 上で $f$ の値を調べます。

$x = 0$ のとき、 $f(0, y) = \frac{-1}{y^2+1}$ です。

$g(y) = \frac{-1}{y^2+1}$ とおくと、$-2 \le y \le 2$ であり、$g'(y) = \frac{2y}{(y^2+1)^2}$ です。

$g'(y) = 0$ より、$y = 0$ です。

$g(0) = -1$

$g(2) = g(-2) = -\frac{1}{5}$

よって、$x=0$ 上での最大値は $-1/5$ (at $(0, \pm 2)$), 最小値は $-1$ (at $(0, 0)$)。

$x = 4-y^2$ のとき、

$f(4-y^2, y) = \frac{4-y^2-1}{y^2+1} - (4-y^2) = \frac{3-y^2}{y^2+1} - 4 + y^2 = \frac{3-y^2 - 4(y^2+1) + y^2(y^2+1)}{y^2+1} = \frac{y^4 - 4y^2 - 1}{y^2+1} = y^2 - 5 + \frac{4}{y^2+1}$

$h(y) = y^2 - 5 + \frac{4}{y^2+1}$ とおくと、$-2 \le y \le 2$ です。

$h'(y) = 2y - \frac{8y}{(y^2+1)^2} = 2y \left(1 - \frac{4}{(y^2+1)^2}\right) = 0$

$y=0$ または $(y^2+1)^2 = 4$ なので、$y^2+1 = 2$ または $y^2+1 = -2$ ($y$は実数なので不適)。

$y^2 = 1$ なので $y = \pm 1$

$h(0) = -5 + 4 = -1$ (このとき $x = 4$)

$h(1) = h(-1) = 1 - 5 + \frac{4}{2} = -4 + 2 = -2$ (このとき $x = 3$)

$h(2) = h(-2) = 4 - 5 + \frac{4}{5} = -1 + \frac{4}{5} = -\frac{1}{5}$ (このとき $x = 0$)

$f(1, 0) = -1$

$f(0, 2) = f(0, -2) = -1/5$

$f(0, 0) = -1$

$f(4, 0) = -1$

$f(3, 1) = f(3, -1) = -2$

$f(0, 2) = f(0, -2) = -1/5$

$S$における$f$の最大値は $-1/5$ であり、$f(0, \pm 2) = -1/5$.

$S$における$f$の最小値は $-5$ であり、$y^2-5+\frac{4}{y^2+1}$ を考えると、$y=0$ のとき $f(4,0)=-1$ となるので、$-5$にはならない.

極値候補は$-1,-2, -1/5$ なので、最小値は$-2$となる.

$f(3, \pm 1) = -2$

3. 最終的な答え

最大値: $-\frac{1}{5}$

最小値: $-2$