以下の極限を計算します。 $$\lim_{x \to +0} \frac{\log(\sin x)}{\log x}$$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$$\lim_{x \to +0} \frac{\log(\sin x)}{\log x}$$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使用します。$x \to +0$のとき、$\sin x \to 0$なので、$\log(\sin x) \to -\infty$かつ$\log x \to -\infty$です。したがって、不定形$\frac{-\infty}{-\infty}$の形なので、ロピタルの定理が適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$$\frac{d}{dx} \log(\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

分母の微分：

$$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$$

したがって、

$$\lim_{x \to +0} \frac{\log(\sin x)}{\log x} = \lim_{x \to +0} \frac{\cot x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$なので、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$です。

また、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$です。

よって、

$$\lim_{x \to +0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 = 1$$

3. 最終的な答え

1