関数 $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、一階導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^3 - 3x) = \frac{3}{4}x^2 - 3$

(2) 次に、二階導関数 $y''$ を求める。

$y'' = \frac{d}{dx}(\frac{3}{4}x^2 - 3) = \frac{3}{2}x$

(3) $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{3}{4}x^2 - 3 = 0$

$\frac{3}{4}x^2 = 3$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

したがって、$x=-2$ と $x=2$ で極値を取る可能性がある。

(4) $y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{3}{2}x = 0$

$x = 0$

したがって、$x=0$ で変曲点を持つ可能性がある。

(5) 増減表を作成する。

$x<-2$ のとき、$y'>0$ なので増加。

$-2<x<2$ のとき、$y'<0$ なので減少。

$x>2$ のとき、$y'>0$ なので増加。

$x<0$ のとき、$y''<0$ なので上に凸。

$x>0$ のとき、$y''>0$ なので下に凸。

増減表：

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|-------|------|------|------|------|------|------|------|

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | 0 | + | + | + |

| y | ↗ | | ↘ | | ↘ | | ↗ |

| 凹凸 | convex| | concave| point | concave| | convex|

(6) 極値を求める。

$x = -2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(-2)^3 - 3(-2) = \frac{1}{4}(-8) + 6 = -2 + 6 = 4$

よって、極大値は $4$ ($x=-2$ のとき)。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2)^3 - 3(2) = \frac{1}{4}(8) - 6 = 2 - 6 = -4$

よって、極小値は $-4$ ($x=2$ のとき)。

(7) 変曲点を求める。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{1}{4}(0)^3 - 3(0) = 0$

よって、変曲点は $(0, 0)$。

3. 最終的な答え

- 増減:

- $x<-2$ で増加

- $-2<x<2$ で減少

- $x>2$ で増加

- 極値:

- $x = -2$ で極大値 $4$

- $x = 2$ で極小値 $-4$

- グラフの凹凸:

- $x<0$ で上に凸

- $x>0$ で下に凸

- 変曲点:

- $(0, 0)$