定積分 $\int_{1}^{3} \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = 4 - x$ とおくと、$x = 4 - u$ であり、$dx = -du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=1$ のとき、$u = 4 - 1 = 3$

$x=3$ のとき、$u = 4 - 3 = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{3} \frac{x+2}{(4-x)^3} dx = \int_{3}^{1} \frac{(4-u)+2}{u^3} (-du) = \int_{1}^{3} \frac{6-u}{u^3} du$

被積分関数を整理します。

$\frac{6-u}{u^3} = \frac{6}{u^3} - \frac{u}{u^3} = 6u^{-3} - u^{-2}$

積分を行います。

$\int_{1}^{3} (6u^{-3} - u^{-2}) du = \left[ 6\frac{u^{-2}}{-2} - \frac{u^{-1}}{-1} \right]_{1}^{3} = \left[ -3u^{-2} + u^{-1} \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{3}{u^2} + \frac{1}{u} \right]_{1}^{3}$

積分範囲の値を代入します。

$\left(-\frac{3}{3^2} + \frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{3}{1^2} + \frac{1}{1}\right) = \left(-\frac{3}{9} + \frac{1}{3}\right) - (-3 + 1) = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) - (-2) = 0 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{3} \frac{x+2}{(4-x)^3} dx = 2$