以下の積分問題を解きます。 5.1 (1) 不定積分 $\int x^4 dx$ 5.1 (2) 不定積分 $\int (2x^3 - 3x + 1) dx$ 5.2 (1) 定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$ 5.2 (2) 定積分 $\int_{2}^{3} (4x^3 - 2x + 1) dx$ 5.3 (1) 関数 $y = f(x) = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれる面積を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の積分問題を解きます。

5.1 (1) 不定積分 $\int x^4 dx$

5.1 (2) 不定積分 $\int (2x^3 - 3x + 1) dx$

5.2 (1) 定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$

5.2 (2) 定積分 $\int_{2}^{3} (4x^3 - 2x + 1) dx$

5.3 (1) 関数 $y = f(x) = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれる面積を求めます。

2. 解き方の手順

5. 1 (1) 不定積分 $\int x^4 dx$

$x^4$ の不定積分は、べきの指数に1を加えてそれを分母に置きます。積分定数を $C$ とすると、

$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

6. 1 (2) 不定積分 $\int (2x^3 - 3x + 1) dx$

それぞれの項を個別に積分します。積分定数を $C$ とすると、

$\int (2x^3 - 3x + 1) dx = 2\int x^3 dx - 3\int x dx + \int 1 dx$

$= 2\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{x^4}{2} - \frac{3x^2}{2} + x + C$

7. 2 (1) 定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$

まず不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 1) dx = \frac{x^3}{3} - x$

定積分は以下のように計算します。

$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$

8. 2 (2) 定積分 $\int_{2}^{3} (4x^3 - 2x + 1) dx$

まず不定積分を求めます。

$\int (4x^3 - 2x + 1) dx = 4\int x^3 dx - 2\int x dx + \int 1 dx = 4\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^2}{2} + x = x^4 - x^2 + x$

定積分は以下のように計算します。

$\int_{2}^{3} (4x^3 - 2x + 1) dx = \left[ x^4 - x^2 + x \right]_{2}^{3} = (3^4 - 3^2 + 3) - (2^4 - 2^2 + 2) = (81 - 9 + 3) - (16 - 4 + 2) = 75 - 14 = 61$

9. 3 (1) $y = f(x) = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれる面積

まず、$f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、$x = -1, 0, 2$ です。

$-1 \le x \le 0$ の範囲では、$f(x) \ge 0$ であり、$0 \le x \le 2$ の範囲では、$f(x) \le 0$ です。したがって、面積は以下のようになります。

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx + \left| \int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx \right|$

$\int (x^3 - x^2 - 2x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2$

$\int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{-3 - 4 + 12}{12} = \frac{5}{12}$

$\int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$

$S = \frac{5}{12} + \left| -\frac{8}{3} \right| = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}$

3. 最終的な答え

4. 1 (1) $\frac{x^5}{5} + C$

5. 1 (2) $\frac{x^4}{2} - \frac{3x^2}{2} + x + C$

6. 2 (1) $-\frac{4}{3}$

7. 2 (2) $61$

8. 3 (1) $\frac{37}{12}$