問題は以下の通りです。 * 問題5: 2つのチームA, Bが優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝チームとする。最初の試合でBが勝った場合にAが優勝する勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。 * 問題6: 赤, 青, 白の3個のさいころを投げたとき、可能な目の出方は全部で何通りあり、このうち赤と青の目が等しい場合は何通りあり、赤と青の目の合計が白の目より小さい場合は何通りあるか。 * 問題7: 1050の正の約数は何個あり、その約数のうち1と1050を除く正の約数の和はいくらか。 * 問題8: 大, 中, 小3個のさいころを投げるとき、それぞれの出る目の数を$a$, $b$, $c$とする。$\frac{a}{bc}$が整数とならない場合は何通りあるか。 * 問題9: 十円硬貨6枚, 百円硬貨4枚, 五百円硬貨2枚, 合計12枚の硬貨の中から1枚以上使って支払える金額は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

* 問題5: 2つのチームA, Bが優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝チームとする。最初の試合でBが勝った場合にAが優勝する勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。

* 問題6: 赤, 青, 白の3個のさいころを投げたとき、可能な目の出方は全部で何通りあり、このうち赤と青の目が等しい場合は何通りあり、赤と青の目の合計が白の目より小さい場合は何通りあるか。

* 問題7: 1050の正の約数は何個あり、その約数のうち1と1050を除く正の約数の和はいくらか。

* 問題8: 大, 中, 小3個のさいころを投げるとき、それぞれの出る目の数を$a$, $b$, $c$とする。$\frac{a}{bc}$が整数とならない場合は何通りあるか。

* 問題9: 十円硬貨6枚, 百円硬貨4枚, 五百円硬貨2枚, 合計12枚の硬貨の中から1枚以上使って支払える金額は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 問題5:

* Aが優勝するためには、Aが2勝する必要がある。最初の試合はBが勝っているので、Aが優勝するパターンは以下の通り。

* Aが2連勝: 1通り

* Aが1勝1敗した後、Aが勝つ: $2C1 = 2$通り (BAA, ABA)

* Aが1勝した後引き分け、Aが勝つ: 1通り (BASA)

* 引き分けの後Aが1勝、Aが勝つ: 1通り (SABA)

* Aが負けた後引き分け、Aが勝つ: 1通り (BSA)

* 引き分けの後Aが負け、Aが勝つ: 1通り (SBA)

* 引き分けが二回入るケースはない(引き分けの次は必ず勝負がつく)

* 合計: 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7通り

* 問題6:

* 3個のサイコロの目の出方は、$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

* 赤と青の目が等しい場合：赤と青の目が1から6までのいずれかである場合、$1 \times 6 = 6$通り。白いサイコロの目は自由に1から6まで出るので、$6 \times 6 = 36$通り。

* 赤と青の目の合計が白の目より小さい場合：

* 赤と青の合計が2のとき、白は3から6までの4通り。赤と青の組み合わせは(1,1)の1通り。合計1 * 4 = 4通り

* 赤と青の合計が3のとき、白は4から6までの3通り。赤と青の組み合わせは(1,2),(2,1)の2通り。合計2 * 3 = 6通り

* 赤と青の合計が4のとき、白は5から6までの2通り。赤と青の組み合わせは(1,3),(2,2),(3,1)の3通り。合計3 * 2 = 6通り

* 赤と青の合計が5のとき、白は6の1通り。赤と青の組み合わせは(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の4通り。合計4 * 1 = 4通り

* 合計: 4 + 6 + 6 + 4 = 20通り

* 問題7:

* $1050 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7$なので、正の約数の個数は$(1+1)(1+1)(2+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 3 \times 2 = 24$個。

* 正の約数の和は$(1+2)(1+3)(1+5+25)(1+7) = 3 \times 4 \times 31 \times 8 = 2976$。1と1050を除くので、$2976 - 1 - 1050 = 1925$。

* 問題8:

* 全ての目の出方は、$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

* $\frac{a}{bc}$が整数となる場合を考える。

* $bc = 1$のとき、$a$は1から6のいずれでも良いので6通り。 ($b=1$, $c=1$)

* $bc = 2$のとき、$a$は2,4,6の3通り。 ($b=1, c=2$ or $b=2, c=1$)

* $bc = 3$のとき、$a$は3,6の2通り。 ($b=1, c=3$ or $b=3, c=1$)

* $bc = 4$のとき、$a$は4の1通り。 ($b=1, c=4$ or $b=4, c=1$ or $b=2, c=2$)、 $a=4, 8, 12$, 4と8はサイコロで出せるので、$4/4=1$, $8/4 = 2$

* $bc = 5$のとき、$a$は5の1通り。 ($b=1, c=5$ or $b=5, c=1$)

* $bc = 6$のとき、$a$は6の1通り。 ($b=1, c=6$ or $b=6, c=1$ or $b=2, c=3$ or $b=3, c=2$)

* $bc = 8$のとき、$a$はなし。 ($b=2, c=4$ or $b=4, c=2$)

* $bc = 9$のとき、$a$はなし。 ($b=3, c=3$)

* $bc = 10$のとき、$a$はなし。

* $bc = 12$のとき、$a$はなし。

* $bc = 15$のとき、$a$はなし。

* $bc = 16$のとき、$a$はなし。

* $bc = 18$のとき、$a$はなし。

* $bc = 20$のとき、$a$はなし。

* $bc = 24$のとき、$a$はなし。

* $bc = 25$のとき、$a$はなし。

* $bc = 30$のとき、$a$はなし。

* $bc = 36$のとき、$a$はなし。

* $a=kbc$が整数となる組み合わせを考える

* $bc = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36$

* $6+ 3 + 2 + 1 + 1 + 1= 14$

* 全てのケースから整数になるケースを除く。216 - 14 = 202

* 問題9:

* 十円硬貨6枚で支払える金額は0円から60円の7通り。

* 百円硬貨4枚で支払える金額は0円から400円の5通り。

* 五百円硬貨2枚で支払える金額は0円から1000円の3通り。

* 支払える金額の総数は$7 \times 5 \times 3 = 105$通り。

* ただし、0円の場合を除くので、105 - 1 = 104通り。

3. 最終的な答え

* 問題5: 7通り

* 問題6: 216通り, 36通り, 20通り

* 問題7: 24個, 1925

* 問題8: 202通り

* 問題9: 104通り