* ③ $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$ * ④ $2\cos^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$ * ⑤ $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ * ⑥ $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{1}{2}$

分かりました。では、提示された問題のうち、③、④、⑤、⑥の解き方を説明します。ただし、θの範囲が指定されていないので、一般解を求めます。

1. 問題の内容

* ③ $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

* ④ $2\cos^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$

* ⑤ $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

* ⑥ $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

* ③ $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、$\cos\theta$ のみの式にする。

$2(1-\cos^2\theta) + \cos\theta - 2 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

$-2\cos^2\theta + \cos\theta = 0$

$\cos\theta(1 - 2\cos\theta) = 0$

したがって、$\cos\theta = 0$ または $\cos\theta = \frac{1}{2}$.

$\cos\theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$（$n$は整数）.

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$（$n$は整数）.

* ④ $2\cos^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、$\sin\theta$ のみの式にする。

$2(1-\sin^2\theta) + 2 \ge -7\sin\theta$

$2 - 2\sin^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$

$2\sin^2\theta - 7\sin\theta - 4 \le 0$

$(2\sin\theta + 1)(\sin\theta - 4) \le 0$

$-1/2 \le \sin\theta \le 4$.

ただし、$\sin\theta$は常に $-1 \le \sin\theta \le 1$ を満たすので、$-1/2 \le \sin\theta \le 1$ となる.

$\sin\theta \ge -1/2$ を解くと, $\theta \in [-\pi/6 + 2n\pi, 7\pi/6 + 2n\pi]$, where $n$ is an integer.

$2n\pi-\pi/6 \le \theta \le 2n\pi + 7\pi/6$, ($n$は整数).

* ⑤ $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$（$n$は整数）

$2\theta = \frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{6} \pm\frac{\pi}{6} + n\pi$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ または $\theta = n\pi$（$n$は整数）.

* ⑥ $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{1}{2}$

$-\frac{5\pi}{6} + 2n\pi \le 2\theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$（$n$は整数）

$-\frac{6\pi}{6} + 2n\pi \le 2\theta \le \frac{6\pi}{6} + 2n\pi$

$-\frac{\pi}{2} + n\pi \le \theta \le \frac{\pi}{2} + n\pi$

したがって、$-\frac{\pi}{2} + n\pi \le \theta \le \frac{\pi}{3} + n\pi$, ($n$は整数).

3. 最終的な答え

* ③ $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $\theta = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$（$n$は整数）

* ④ $2n\pi-\pi/6 \le \theta \le 2n\pi + 7\pi/6$, ($n$は整数)

* ⑤ $\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$, $\theta = n\pi$（$n$は整数）

* ⑥ $-\frac{\pi}{2} + n\pi \le \theta \le \frac{\pi}{3} + n\pi$, ($n$は整数)