$P$ が直交行列であるとき、$\|P\|^2 = n$ が成り立つことを示す。ここで、$\|P\|$ は行列 $P$ のフロベニウスノルムを表し、$n$ は行列のサイズを表す。つまり、$P$ は $n \times n$ の行列である。

1. 問題の内容

$P$ が直交行列であるとき、$\|P\|^2 = n$ が成り立つことを示す。ここで、$\|P\|$ は行列 $P$ のフロベニウスノルムを表し、$n$ は行列のサイズを表す。つまり、$P$ は $n \times n$ の行列である。

2. 解き方の手順

直交行列 $P$ の定義より、$P^T P = I$ が成り立つ。ここで、$I$ は単位行列である。

また、フロベニウスノルムの定義より、

$\|P\|^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |p_{ij}|^2$

ここで、$p_{ij}$ は行列 $P$ の $(i, j)$ 成分を表す。

$P$ が直交行列であることから、$P$ の各列ベクトルは互いに直交し、かつノルムが1である。つまり、

$\sum_{i=1}^n p_{ik} p_{il} = \delta_{kl}$

ここで、$\delta_{kl}$ はクロネッカーのデルタで、$k = l$ のとき 1、$k \neq l$ のとき 0 となる。

$\|P\|^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |p_{ij}|^2$

ここで、$\sum_{i=1}^n |p_{ij}|^2$ は $P$ の $j$ 番目の列ベクトルのノルムの二乗であり、$P$ が直交行列であることから、これは 1 に等しい。したがって、

$\|P\|^2 = \sum_{j=1}^n 1 = n$

3. 最終的な答え

$\|P\|^2 = n$