関数 $f(t)$ が与えられています。 $ f(t) = \begin{cases} 0 & (0 < t < 3) \\ (t-3)^2 & (t \geq 3) \end{cases} $ この関数のラプラス変換 $F(s) = \mathcal{L}[f(t)]$ を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $f(t)$ が与えられています。

$f(t) = \begin{cases} 0 & (0 < t < 3) \\ (t-3)^2 & (t \geq 3) \end{cases}$

この関数のラプラス変換 $F(s) = \mathcal{L}[f(t)]$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(t)$ をステップ関数を用いて表します。$u(t)$ をヘビサイドのステップ関数とすると、

$f(t) = (t-3)^2 u(t-3)$

となります。

次に、ラプラス変換の性質を利用します。$t$ に関する関数 $g(t)$ について、

$\mathcal{L}[g(t-a)u(t-a)] = e^{-as}G(s)$

ここで、$G(s) = \mathcal{L}[g(t)]$ です。

今回の問題では、$g(t) = t^2$ であり、$a = 3$ です。

$g(t) = t^2$ のラプラス変換は、

$\mathcal{L}[t^2] = \frac{2}{s^3}$

したがって、$G(s) = \frac{2}{s^3}$ となります。

これらを合わせて、

$\mathcal{L}[f(t)] = \mathcal{L}[(t-3)^2 u(t-3)] = e^{-3s} \frac{2}{s^3}$

3. 最終的な答え

$F(s) = \frac{2e^{-3s}}{s^3}$

## 問題2

1. 問題の内容

次の微分方程式をラプラス変換を用いて解く問題です。

$y'' - y' - 6y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換します。

$\mathcal{L}[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s - 2$

$\mathcal{L}[y'] = sY(s) - y(0) = sY(s) - 1$

$\mathcal{L}[y] = Y(s)$

ここで、$Y(s) = \mathcal{L}[y(t)]$ です。

したがって、ラプラス変換された方程式は次のようになります。

$(s^2Y(s) - s - 2) - (sY(s) - 1) - 6Y(s) = 0$

これを整理すると、

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 1$

$Y(s) = \frac{s+1}{s^2 - s - 6} = \frac{s+1}{(s-3)(s+2)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{s+1}{(s-3)(s+2)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+2}$

$s+1 = A(s+2) + B(s-3)$

$s=3$ のとき、$4 = 5A$ より、$A = \frac{4}{5}$

$s=-2$ のとき、$-1 = -5B$ より、$B = \frac{1}{5}$

したがって、

$Y(s) = \frac{4/5}{s-3} + \frac{1/5}{s+2}$

逆ラプラス変換を行います。

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{4/5}{s-3}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1/5}{s+2}\right]$

$y(t) = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$

## 問題3

1. 問題の内容

次の微分方程式をラプラス変換を用いて解く問題です。

$y'' - y' - 6y = \delta(t), \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 2$

ここで $\delta(t)$ はデルタ関数であり、$\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$ です。

2. 解き方の手順

問題2と同様に、与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換します。

$\mathcal{L}[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s - 2$

$\mathcal{L}[y'] = sY(s) - y(0) = sY(s) - 1$

$\mathcal{L}[y] = Y(s)$

$\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$

ここで、$Y(s) = \mathcal{L}[y(t)]$ です。

したがって、ラプラス変換された方程式は次のようになります。

$(s^2Y(s) - s - 2) - (sY(s) - 1) - 6Y(s) = 1$

これを整理すると、

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 3$

$Y(s) = \frac{s+3}{s^2 - s - 6} = \frac{s+3}{(s-3)(s+2)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{s+3}{(s-3)(s+2)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+2}$

$s+3 = A(s+2) + B(s-3)$

$s=3$ のとき、$6 = 5A$ より、$A = \frac{6}{5}$

$s=-2$ のとき、$1 = -5B$ より、$B = -\frac{1}{5}$

したがって、

$Y(s) = \frac{6/5}{s-3} - \frac{1/5}{s+2}$

逆ラプラス変換を行います。

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{6/5}{s-3}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1/5}{s+2}\right]$

$y(t) = \frac{6}{5}e^{3t} - \frac{1}{5}e^{-2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{6}{5}e^{3t} - \frac{1}{5}e^{-2t}$