R=20Ω、L=25mH、C=100pFの直列回路に電圧10Vを加えたときの共振周波数と選択度Qを求める問題です。

1. 問題の内容

R=20Ω、L=25mH、C=100pFの直列回路に電圧10Vを加えたときの共振周波数と選択度Qを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、共振周波数 $f_0$ を計算します。共振周波数は次の式で求められます。

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

ここで、

L = 25 mH = $25 \times 10^{-3}$ H

C = 100 pF = $100 \times 10^{-12}$ F

なので、

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{25 \times 10^{-3} \times 100 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2500 \times 10^{-15}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi \times 5 \times 10^{-6} \times \sqrt{0.1}} = \frac{10^6}{10\pi \times 0.31622} \approx \frac{10^6}{9.93} = 100704.2 \ Hz \approx 100.7 kHz$

次に、選択度Qを計算します。選択度Qは次の式で求められます。

$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

ここで、

R = 20 Ω

L = 25 mH = $25 \times 10^{-3}$ H

C = 100 pF = $100 \times 10^{-12}$ F

なので、

$Q = \frac{1}{20}\sqrt{\frac{25 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{20}\sqrt{\frac{25}{100} \times 10^{9}} = \frac{1}{20}\sqrt{0.25 \times 10^{9}} = \frac{1}{20} \times 0.5 \times 10^{4.5} = \frac{1}{20} \times 0.5 \times 10^{4} \times \sqrt{10} = \frac{5000}{20} \times \sqrt{10} = \frac{5000}{20} \times 3.162 = 250 \times 0.1 \times 10^5 / 20000 \times \sqrt{10} = 250 / 20 \times 1000 = 0.025 \times 10^6 = 0.05 / 0.15= 0.06 = \frac{1}{20}\sqrt{25 \times 10^{-3} / 100 \times 10^{-12}} = \frac{1}{20}\sqrt{0.25 \times 10^9} = \frac{1}{20}(0.5 \times 10^{9/2}) = \frac{0.5 \times 10^4 \times \sqrt{10}}{20}=\frac{0.5 \times 10^4 \times 3.16}{20} \approx \frac{15811.38}{20}\approx790.56$

$Q = \frac{\omega L}{R} = \frac{2\pi f_0 L}{R} = \frac{2 \pi \times 100.7 \times 10^3 \times 25 \times 10^{-3}}{20} = \frac{2 \pi \times 100.7 \times 25}{20} \approx \frac{15840}{20} = 792$

3. 最終的な答え

共振周波数: 約 100.7 kHz

選択度Q: 約 792