与えられた点 $(1, 0)$, $(5, 5)$, $(6, 10)$ に最も良く当てはまる放物線 $y = ax^2 + b$ を、残差の二乗和 $S = (a+b)^2 + (25a+b-5)^2 + (36a+b-10)^2$ を最小化することによって求めよ。

1. 問題の内容

与えられた点 $(1, 0)$, $(5, 5)$, $(6, 10)$ に最も良く当てはまる放物線 $y = ax^2 + b$ を、残差の二乗和 $S = (a+b)^2 + (25a+b-5)^2 + (36a+b-10)^2$ を最小化することによって求めよ。

2. 解き方の手順

二乗和 $S$ を最小化するためには、$S$ を $a$ と $b$ で偏微分したものがそれぞれ0になるようにします。

まず、$S$ を $a$ で偏微分します。

$\frac{\partial S}{\partial a} = 2(a+b) + 2(25a+b-5)(25) + 2(36a+b-10)(36)$

$= 2(a+b) + 50(25a+b-5) + 72(36a+b-10)$

$= 2a+2b + 1250a+50b-250 + 2592a+72b-720$

$= (2+1250+2592)a + (2+50+72)b + (-250-720)$

$= 3844a + 124b - 970$

次に、$S$ を $b$ で偏微分します。

$\frac{\partial S}{\partial b} = 2(a+b) + 2(25a+b-5) + 2(36a+b-10)$

$= 2(a+b) + 2(25a+b-5) + 2(36a+b-10)$

$= 2a+2b + 50a+2b-10 + 72a+2b-20$

$= (2+50+72)a + (2+2+2)b + (-10-20)$

$= 124a + 6b - 30$

偏微分したものが0になるように連立方程式を立てます。

$3844a + 124b - 970 = 0$

$124a + 6b - 30 = 0$

これらの式を整理すると、

$3844a + 124b = 970$

$124a + 6b = 30$

2番目の式を20.666...倍すると、

$2562.666...a + 124b = 620$

したがって、

$3844a - 2562.666...a = 970 - 620$

$1281.333...a = 350$

$a = \frac{350}{1281.333...} = \frac{350}{3844/3} = \frac{1050}{3844} = \frac{525}{1922} \approx 0.273$

$124a + 6b = 30$ に代入します。

$6b = 30 - 124a = 30 - 124 * \frac{525}{1922} = 30 - \frac{65100}{1922} = 30 - 33.873 \approx -3.873$

$b = -3.873 / 6 \approx -0.6455$

よって、$a \approx 0.273$、$b \approx -0.6455$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{525}{1922}x^2 - \frac{2324}{3600} \approx 0.273x^2 - 0.646$

したがって、

$y = \frac{525}{1922}x^2 -\frac{1162}{1800}$

$y = \frac{525}{1922}x^2 - \frac{1162}{1800}$