文化祭でマフィンとクッキーを販売する。マフィンは1個100円、クッキーは4枚入り100円で販売する。与えられたホットケーキミックス、砂糖、バターを使って、売上を最大にするには、マフィンとクッキーをそれぞれいくつずつ売ればよいか。ホットケーキミックスは120袋(1袋150g)、砂糖は5kg、バターは6kgある。その他の材料は十分に在庫がある。マフィン6個を作るには、ホットケーキミックス25g、砂糖50g、バター45gが必要である。クッキー20枚を作るには、ホットケーキミックス30g、砂糖40g、バター50gが必要である。

1. 問題の内容

文化祭でマフィンとクッキーを販売する。マフィンは1個100円、クッキーは4枚入り100円で販売する。与えられたホットケーキミックス、砂糖、バターを使って、売上を最大にするには、マフィンとクッキーをそれぞれいくつずつ売ればよいか。ホットケーキミックスは120袋(1袋150g)、砂糖は5kg、バターは6kgある。その他の材料は十分に在庫がある。マフィン6個を作るには、ホットケーキミックス25g、砂糖50g、バター45gが必要である。クッキー20枚を作るには、ホットケーキミックス30g、砂糖40g、バター50gが必要である。

2. 解き方の手順

まず、マフィンを$x$個、クッキーを$y$個販売するとする。与えられた材料の制約条件を不等式で表す。

* ホットケーキミックスの制約：マフィン1個あたり$25/6$g、クッキー1個あたり$30/20 = 3/2$g必要なので、$25/6 x + 3/2 y \le 120 \times 150 = 18000$。これを整理すると、$25x + 9y \le 108000$。

* 砂糖の制約：マフィン1個あたり$50/6$g、クッキー1個あたり$40/20 = 2$g必要なので、$50/6 x + 2y \le 5000$。これを整理すると、$25x + 6y \le 15000$。

* バターの制約：マフィン1個あたり$45/6$g、クッキー1個あたり$50/20 = 5/2$g必要なので、$45/6 x + 5/2 y \le 6000$。これを整理すると、$15x + 5y \le 12000$。さらに簡略化して、$3x + y \le 2400$。

$x \ge 0$, $y \ge 0$も考慮する。

目的関数は、売上を最大化することなので、$100x + 100y = 100(x+y)$を最大化する。つまり、$x+y$を最大化する。

制約条件をグラフに描き、実行可能領域を求める。実行可能領域の頂点の座標を計算し、$x+y$を最大にする頂点を求める。

3つの制約式をそれぞれ変形する。

$25x + 9y = 108000$

$25x + 6y = 15000$

$3x + y = 2400$

$25x+6y = 15000$と$3x+y = 2400$の交点を求める。

$y = 2400 - 3x$を$25x+6y=15000$に代入する。

$25x + 6(2400 - 3x) = 15000$

$25x + 14400 - 18x = 15000$

$7x = 600$

$x = 600/7 \approx 85.7$

$y = 2400 - 3(600/7) = 2400 - 1800/7 = (16800 - 1800) / 7 = 15000/7 \approx 2142.9$

$25x + 9y = 108000$と$3x+y = 2400$の交点を求める。

$y = 2400 - 3x$を$25x + 9y = 108000$に代入する。

$25x + 9(2400 - 3x) = 108000$

$25x + 21600 - 27x = 108000$

$-2x = 86400$

$x = -43200$ (不適)

$25x+9y = 108000$と$25x+6y=15000$の交点を求める。

2式の差をとると、$3y = 93000$なので、$y = 31000$。

$25x + 6(31000) = 15000$

$25x + 186000 = 15000$

$25x = -171000$

$x = -6840$ (不適)

制約条件を満たす整数解を考える。

頂点の候補は、(0, 0), (85.7, 2142.9)など。

$3x + y \le 2400$より、$y \le 2400 - 3x$なので、xが大きくなるとyは小さくなる。

$x$と$y$が整数の場合を考えると、

$25x + 6y \le 15000$

$3x + y \le 2400$

$x = 0$のとき、$6y \le 15000$より、$y \le 2500$、$y \le 2400$なので、$y = 2400$。

$y = 0$のとき、$25x \le 15000$より、$x \le 600$、$3x \le 2400$より、$x \le 800$なので、$x = 600$。

境界上の整数点をいくつか試す。

(600, 0)のとき、ホットケーキミックスは、$25/6 \times 600 = 2500$g、砂糖は$50/6 \times 600 = 5000$g、バターは$45/6 \times 600 = 4500$g使う。

(0, 2400)のとき、ホットケーキミックスは、$3/2 \times 2400 = 3600$g、砂糖は$2 \times 2400 = 4800$g、バターは$5/2 \times 2400 = 6000$g使う。

(86, 2142)のとき、$x+y = 2228$

(600, 0)のとき、$x+y = 600$

(0, 2400)のとき、$x+y = 2400$

2400になる組み合わせを探す。

$3x+y \le 2400$

$25x+6y \le 15000$

$25x+9y \le 108000$

3. 最終的な答え

マフィン0個、クッキー2400個。