## 解答

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1. 問題の内容

質量1kgの物体が、$xy$平面上を運動しており、そのポテンシャルエネルギーが$U = x + \frac{1}{2}y^2$ [J] で与えられています。このとき、以下の問いに答えます。

(1) 点$(x, y)$における質点に働く力$\vec{F}$と、原点(0, 0)に関する力$\vec{F}$のモーメント$\vec{N}$を求めます。

(2) 力$\vec{F}$が点(1, 1)から(2, 2)を結ぶ直線上を移動したときの仕事$W$を求めます。

(3) 質点が満たす運動方程式を求めます。

(4) $\vec{r} = -\frac{1}{2}t^2 \vec{i} + \cos(t) \vec{j}$ が運動方程式の解の一つであることを示します。

(5) 質点の運動量は保存するかどうかを、理由とともに答えます。

(6) 質点の力学的エネルギーは保存するかどうかを、理由とともに答えます。

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2. 解き方の手順

**(1) 力とモーメントの計算**

ポテンシャルエネルギー$U$から力$\vec{F}$を求めます。力はポテンシャルの勾配の負の値で与えられます。

$\vec{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \vec{j} \right)$

$U = x + \frac{1}{2}y^2$を偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial U}{\partial y} = y$

したがって、力$\vec{F}$は

$\vec{F} = -\vec{i} - y \vec{j}$

次に、原点(0, 0)に関する力$\vec{F}$のモーメント$\vec{N}$を計算します。モーメントは位置ベクトル$\vec{r}$と力$\vec{F}$の外積で与えられます。位置ベクトル$\vec{r}$は$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j}$です。

$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F} = (x\vec{i} + y\vec{j}) \times (-\vec{i} - y\vec{j})$

$\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = 0$、 $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$、 $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$ を使うと、

$\vec{N} = -xy \vec{k} + (-y)x(-\vec{k}) = -xy\vec{k} + xy\vec{k} = 0$

**(2) 仕事の計算**

力$\vec{F}$が点(1, 1)から(2, 2)を結ぶ直線上を移動したときの仕事$W$を計算します。直線は$y = x$で表されます。微小変位ベクトル$d\vec{r}$は$d\vec{r} = dx\vec{i} + dy\vec{j}$で、$y = x$なので、$dy = dx$となります。したがって、$d\vec{r} = dx\vec{i} + dx\vec{j}$となります。

仕事は力と変位の内積の積分で与えられます。

$W = \int_{(1,1)}^{(2,2)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{(1,1)}^{(2,2)} (-\vec{i} - y\vec{j}) \cdot (dx\vec{i} + dy\vec{j}) = \int_{1}^{2} (-1 - y) dx$

$y = x$を代入すると、

$W = \int_{1}^{2} (-1 - x) dx = \left[ -x - \frac{1}{2}x^2 \right]_1^2 = (-2 - 2) - (-1 - \frac{1}{2}) = -4 + \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$

**(3) 運動方程式**

質量$m$の質点の運動方程式は、ニュートンの第二法則$\vec{F} = m\vec{a}$で与えられます。ここで、質量$m = 1$ kg、加速度$\vec{a} = \ddot{\vec{r}}$です。力$\vec{F}$は $-\vec{i} - y\vec{j}$なので、運動方程式は

$\ddot{\vec{r}} = -\vec{i} - y\vec{j}$

これは成分ごとに書くと、

$\ddot{x} = -1$

$\ddot{y} = -y$

**(4) 解の検証**

$\vec{r} = -\frac{1}{2}t^2 \vec{i} + \cos(t) \vec{j}$ が運動方程式の解であることを示します。

まず、$\vec{r}$を時間で2回微分します。

$\dot{\vec{r}} = -t \vec{i} - \sin(t) \vec{j}$

$\ddot{\vec{r}} = -\vec{i} - \cos(t) \vec{j}$

運動方程式は $\ddot{x} = -1$、$\ddot{y} = -y$ でした。

$x = -\frac{1}{2}t^2$、 $y = \cos(t)$ なので、$\ddot{x} = -1$、 $\ddot{y} = -\cos(t) = -y$ となり、$\vec{r} = -\frac{1}{2}t^2 \vec{i} + \cos(t) \vec{j}$ は運動方程式の解の一つであることが示されました。

**(5) 運動量保存則**

質点の運動量が保存するかどうかを調べます。運動量が保存するためには、系に働く外力の合計がゼロである必要があります。今回の力は$\vec{F} = -\vec{i} - y\vec{j}$であり、これは一般にゼロではありません。したがって、運動量は保存しません。

**(6) 力学的エネルギー保存則**

力学的エネルギーが保存するかどうかを調べます。力学的エネルギーが保存するためには、ポテンシャルエネルギー$U$が時間的に明示的に変化しない必要があります。今回のポテンシャルエネルギーは$U = x + \frac{1}{2}y^2$であり、時間的に明示的な項を含みません。したがって、力学的エネルギーは保存します。

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3. 最終的な答え

(1) 力: $\vec{F} = -\vec{i} - y\vec{j}$

モーメント: $\vec{N} = \vec{0}$

(2) 仕事: $W = -\frac{5}{2}$ [J]

(3) 運動方程式:

$\ddot{x} = -1$

$\ddot{y} = -y$

(4) $\vec{r} = -\frac{1}{2}t^2 \vec{i} + \cos(t) \vec{j}$は運動方程式の解の一つである。

(5) 運動量は保存しない。理由は、系に働く外力の合計がゼロではないため。

(6) 力学的エネルギーは保存する。理由は、ポテンシャルエネルギーが時間的に明示的に変化しないため。