問題は、テクネチウム99m（$^{99m}Tc$）の放射性崩壊に関する3つの問いに答えるものです。 (1) $^{99m}Tc$の崩壊定数を求め、崩壊によって放出される放射線の名前を答えます。 (2) 2.6 ngの$^{99m}Tc$を含む注射剤の放射能をベクレル（Bq）単位で求めます。 (3) $^{99m}Tc$注射剤の有効期限が33時間であるとき、33時間後の放射能が元の放射能の何パーセントか計算します。

1. 問題の内容

問題は、テクネチウム99m（$^{99m}Tc$）の放射性崩壊に関する3つの問いに答えるものです。

(1) $^{99m}Tc$の崩壊定数を求め、崩壊によって放出される放射線の名前を答えます。

(2) 2.6 ngの$^{99m}Tc$を含む注射剤の放射能をベクレル（Bq）単位で求めます。

(3) $^{99m}Tc$注射剤の有効期限が33時間であるとき、33時間後の放射能が元の放射能の何パーセントか計算します。

2. 解き方の手順

(1) 崩壊定数の計算と放射線の種類の特定

半減期 $T_{1/2}$と崩壊定数 $\lambda$ の関係は以下で表されます。

$\lambda = \frac{ln2}{T_{1/2}}$

問題文より、$^{99m}Tc$の半減期は6時間なので、

$\lambda = \frac{0.69}{6} = 0.115 \ hr^{-1}$

$^{99m}Tc$の壊変により放出される放射線は、ガンマ線です。

(2) 放射能の計算

まず、$^{99m}Tc$の原子量を99とします。

2. 6 ngの$^{99m}Tc$の物質量（mol）を計算します。

$n = \frac{2.6 \times 10^{-9} \ g}{99 \ g/mol} = 2.626 \times 10^{-11} \ mol$

$^{99m}Tc$の原子数を計算します。アボガドロ定数 $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$を使用します。

$N = n \times N_A = 2.626 \times 10^{-11} \ mol \times 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1} = 1.5756 \times 10^{13} \ atoms$

放射能 $A$ は、$A = \lambda N$ で計算できます。$\lambda$ は秒単位に変換する必要があります。

$\lambda = 0.115 \ hr^{-1} = \frac{0.115}{3600} \ s^{-1} = 3.194 \times 10^{-5} \ s^{-1}$

$A = 3.194 \times 10^{-5} \ s^{-1} \times 1.5756 \times 10^{13} \ atoms = 5.03 \times 10^{8} \ Bq$

(3) 放射能の割合の計算

放射能は時間とともに指数関数的に減少します。

$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$

ここで、$A(t)$ は時間 $t$ 後の放射能、$A_0$ は初期放射能、$\lambda$ は崩壊定数です。

$t = 33$ 時間後の放射能は、

$A(33) = A_0 e^{-0.115 \times 33} = A_0 e^{-3.795}$

$e^{-3.795} \approx 0.0224$

$A(33) = 0.0224 A_0$

したがって、33時間後の放射能は元の放射能の2.24 %です。

3. 最終的な答え

(1) 崩壊定数: 0.115 $hr^{-1}$、放射線の種類: ガンマ線

(2) 放射能: $5.03 \times 10^8$ Bq

(3) 放射能の割合: 2.24 %