点A(-5, 4)と点B(-1, -3)を結ぶ線分の中点と、点C(4, -1)と点D(2, 6)を結ぶ線分の中点を通る直線の式を求める。

1. 問題の内容

点A(-5, 4)と点B(-1, -3)を結ぶ線分の中点と、点C(4, -1)と点D(2, 6)を結ぶ線分の中点を通る直線の式を求める。

2. 解き方の手順

まず、線分ABの中点Mの座標を求める。中点の公式は、2点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を結ぶ線分の中点の座標が$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$で与えられることを用いる。

線分ABの中点Mの座標は、

$M = (\frac{-5 + (-1)}{2}, \frac{4 + (-3)}{2}) = (\frac{-6}{2}, \frac{1}{2}) = (-3, \frac{1}{2})$

次に、線分CDの中点Nの座標を求める。同様に中点の公式を用いる。

線分CDの中点Nの座標は、

$N = (\frac{4 + 2}{2}, \frac{-1 + 6}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$

次に、2点MとNを通る直線の式を求める。直線の方程式を$y = ax + b$とおく。

点M(-3, $\frac{1}{2}$)を通るので、

$\frac{1}{2} = -3a + b$

点N(3, $\frac{5}{2}$)を通るので、

$\frac{5}{2} = 3a + b$

2つの式を連立方程式として解く。

$\frac{1}{2} = -3a + b$

$\frac{5}{2} = 3a + b$

2つの式を足し合わせると、

$\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = -3a + b + 3a + b$

$\frac{6}{2} = 2b$

$3 = 2b$

$b = \frac{3}{2}$

$b = \frac{3}{2}$を$\frac{5}{2} = 3a + b$に代入すると、

$\frac{5}{2} = 3a + \frac{3}{2}$

$3a = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

$3a = \frac{2}{2}$

$3a = 1$

$a = \frac{1}{3}$

したがって、求める直線の方程式は、

$y = \frac{1}{3}x + \frac{3}{2}$

両辺を6倍すると、

$6y = 2x + 9$

$2x - 6y + 9 = 0$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{3}x + \frac{3}{2}$

または

$2x - 6y + 9 = 0$