3点O(0, 0, 0), A(1, -2, 3), B(-1, 1, 2)が定める平面上に点C(x, 1, 9)があるとき、xの値を求める。

1. 問題の内容

3点O(0, 0, 0), A(1, -2, 3), B(-1, 1, 2)が定める平面上に点C(x, 1, 9)があるとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

点Cが平面OAB上にあるということは、$\vec{OC}$が$\vec{OA}$と$\vec{OB}$の線形結合で表せるということです。つまり、実数s, tを用いて

$\vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$

と表すことができます。それぞれのベクトルを成分で表すと

$\begin{pmatrix} x \\ 1 \\ 9 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

これは、以下の連立方程式に帰着されます。

$x = s - t$

$1 = -2s + t$

$9 = 3s + 2t$

2番目の式より、$t = 1 + 2s$。これを3番目の式に代入すると

$9 = 3s + 2(1 + 2s) = 3s + 2 + 4s = 7s + 2$

$7s = 7$

$s = 1$

よって、$t = 1 + 2(1) = 3$。

最後に、$x = s - t$に$s=1$、$t=3$を代入すると、

$x = 1 - 3 = -2$

3. 最終的な答え

x = -2