3点 $O(0, 0, 0)$, $A(-1, 1, 2)$, $B(2, -1, -1)$ から等距離にあって、$zx$平面上にある点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $O(0, 0, 0)$, $A(-1, 1, 2)$, $B(2, -1, -1)$ から等距離にあって、$zx$平面上にある点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める点を$P(x, 0, z)$とします。$P$は$zx$平面上にあるので、$y$座標は0です。$P$が$O$, $A$, $B$から等距離にあるという条件から、以下の式が成り立ちます。

$PO^2 = PA^2 = PB^2$

まず、$PO^2 = PA^2$から、$x$と$z$の関係式を求めます。

$PO^2 = x^2 + 0^2 + z^2 = x^2 + z^2$

$PA^2 = (x - (-1))^2 + (0 - 1)^2 + (z - 2)^2 = (x + 1)^2 + 1 + (z - 2)^2 = x^2 + 2x + 1 + 1 + z^2 - 4z + 4 = x^2 + z^2 + 2x - 4z + 6$

$PO^2 = PA^2$より、

$x^2 + z^2 = x^2 + z^2 + 2x - 4z + 6$

$0 = 2x - 4z + 6$

$2x - 4z = -6$

$x - 2z = -3$

$x = 2z - 3$ ...(1)

次に、$PO^2 = PB^2$から、$x$と$z$の関係式を求めます。

$PO^2 = x^2 + z^2$

$PB^2 = (x - 2)^2 + (0 - (-1))^2 + (z - (-1))^2 = (x - 2)^2 + 1 + (z + 1)^2 = x^2 - 4x + 4 + 1 + z^2 + 2z + 1 = x^2 + z^2 - 4x + 2z + 6$

$PO^2 = PB^2$より、

$x^2 + z^2 = x^2 + z^2 - 4x + 2z + 6$

$0 = -4x + 2z + 6$

$4x - 2z = 6$

$2x - z = 3$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$2(2z - 3) - z = 3$

$4z - 6 - z = 3$

$3z = 9$

$z = 3$

(1)に$z = 3$を代入すると、

$x = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$

したがって、求める点の座標は $(3, 0, 3)$ です。

3. 最終的な答え

$(3, 0, 3)$