三角形 ABC において、$AB=AC=5$, $BC=8$ であるとき、重心を G, 内心を I, 外心を O とする。 $AG$, $AI$, $AO$ の長さを求める問題である。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$AB=AC=5$, $BC=8$ であるとき、重心を G, 内心を I, 外心を O とする。

$AG$, $AI$, $AO$ の長さを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、点 A から辺 BC に下ろした垂線の足を D とする。

三角形 ABC は二等辺三角形なので、$BD = DC = 4$ である。

三平方の定理より、$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ である。

ア: 重心 G は中線 AD を 2:1 に内分するので、$AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \times 3 = 2$ である。

イ: 内心 I は角の二等分線上に存在する。三角形 ABC の面積を S とすると、

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$ である。

内接円の半径を r とすると、$S = \frac{1}{2}r(AB+BC+CA)$ より、

$12 = \frac{1}{2}r(5+8+5) = \frac{1}{2}r(18) = 9r$ なので、$r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ となる。

ここで、三角形 ABD において、$AI = x$ とおくと、

角 A の二等分線と辺 BC の交点を E とすると、$BE/CE = AB/AC = 1$ より、$BE = CE = 4$。

三角形 ABD において、内接円の中心を I とすると、ID = r = 4/

3. また、三角形 AID において、$AI^2 = AD^2 + ID^2$, つまり、

$AI = \sqrt{AD^2 + ID^2}$ である。ここで、$AD=3$, $ID = r = \frac{4}{3}$ なので、$AI = \sqrt{3^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{9 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{81+16}{9}} = \sqrt{\frac{97}{9}} = \frac{\sqrt{97}}{3}$ である。

ウ,エ,オ,カ: 外心 O は各辺の垂直二等分線の交点である。三角形 ABC は二等辺三角形なので、外心 O は AD 上にある。

外接円の半径を R とすると、$AO = R$ であり、$R = \frac{abc}{4S}$ で計算できる。ここで、$a=5$, $b=5$, $c=8$, $S=12$ より、$R = \frac{5 \times 5 \times 8}{4 \times 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}$ である。

したがって、$AO = \frac{25}{6}$ である。

3. 最終的な答え

$AG = 2$

$AI = \frac{\sqrt{97}}{3}$

$AO = \frac{25}{6}$