空間内の2直線 OA と l の交差に関する問題です。O を原点とし、点 A(0, -3, 1) と B(1, 0, 3) が与えられています。点 M を通り直線 OB と平行な直線 l を考えます。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OM} = \vec{m}$ とおきます。点 P が直線 OA 上にあるとき、$\overrightarrow{OP} = s\vec{a}$ となる実数 s が存在します。点 Q が直線 l 上にあるとき、$\overrightarrow{MQ} = t\vec{b}$ となる実数 t が存在します。このとき、$\overrightarrow{OQ}$ を求め、さらに $s\vec{a}$ を $\vec{b}$, $\vec{m}$ で表した式を解答群から選びます。

1. 問題の内容

空間内の2直線 OA と l の交差に関する問題です。O を原点とし、点 A(0, -3, 1) と B(1, 0, 3) が与えられています。点 M を通り直線 OB と平行な直線 l を考えます。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OM} = \vec{m}$ とおきます。点 P が直線 OA 上にあるとき、$\overrightarrow{OP} = s\vec{a}$ となる実数 s が存在します。点 Q が直線 l 上にあるとき、$\overrightarrow{MQ} = t\vec{b}$ となる実数 t が存在します。このとき、$\overrightarrow{OQ}$ を求め、さらに $s\vec{a}$ を $\vec{b}$, $\vec{m}$ で表した式を解答群から選びます。

2. 解き方の手順

(i) 点 Q が直線 l 上にあるとき、$\overrightarrow{MQ} = t\vec{b}$ が成り立ちます。

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MQ}$ であるから、

$\overrightarrow{OQ} = \vec{m} + t\vec{b}$

したがって、$\boxed{\overrightarrow{OQ} = \vec{m} + t\vec{b}}$ となります。

直線 OA と直線 l が交わる条件は、点 P と点 Q が一致することです。

したがって、$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}$ となる実数 s, t が存在することです。

つまり、$s\vec{a} = \vec{m} + t\vec{b}$ となる実数 s, t が存在することが必要十分条件です。

したがって、選択肢の中から $s\vec{a} = \vec{m} + t\vec{b}$ を満たすものを選びます。

解答群を見ると、選択肢③ $\vec{m} + t\vec{b}$ が一致します。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OQ} = \vec{m} + t\vec{b}$

$s\vec{a} = \vec{m} + t\vec{b}$

アの解答群：③