円の中に四角形ABCDが内接しており、対角線ACとBDの交点をEとする。また、円の中心をOとする。角AEDは105度、角ADCは67度である。このとき、角OBE、つまり$x$の大きさを求める問題である。

1. 問題の内容

円の中に四角形ABCDが内接しており、対角線ACとBDの交点をEとする。また、円の中心をOとする。角AEDは105度、角ADCは67度である。このとき、角OBE、つまり$x$の大きさを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質から、対角の和は180度である。したがって、

$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$

$\angle ABC + 67^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle ABC = 180^{\circ} - 67^{\circ} = 113^{\circ}$

次に、$\angle AEB$は$\angle AED$と対頂角なので、

$\angle AEB = \angle AED = 105^{\circ}$

三角形ABEにおいて、内角の和は180度であるから、

$\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180^{\circ}$

$\angle BAE + \angle ABE + 105^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle BAE + \angle ABE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$

ここで、$\angle ABC = \angle ABE = 113^{\circ}$なので、$\angle OBE = x$を求める必要がある。

円周角の定理より、$\angle ABC$は弧ACに対する円周角である。また、中心角$\angle AOC$は弧ACに対する中心角である。したがって、

$\angle AOC = 2\angle ABC = 2 \times 67 = 134$

また、$\angle ADB = \angle ACB = 67$

三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形なので

$\angle OBC = \angle OCB$

$\angle BOC = 2 \times \angle BAC$

円周角の定理より $\angle BAC = \angle BDC$ なので、

$\angle BAC = \angle BDC = 180 - 105 - \angle ABE$

$\angle DAC = \angle DBC$

$\angle DAC = 105 - 67 = 38$

$\angle DBC = 38$

$\angle ABE = \angle ABC - \angle DBC = 113 - 38 = 75$

よって

$\angle BOE = 180 - 75 = 105$

$\angle OEB = 180 - 105 -38= 37$

$\angle OBE = 37$

$\angle OBA=\angle OBC$

三角形BOCにおいて

$\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC=180$

$\angle OBC= \frac{180 - \angle BOC}{2}$

$\angle BAC= 180-105-x= 75-x$

$\angle BOC=2*(75-x)$

$\angle OBC=\frac{180-150+2x}{2}= \frac{30+2x}{2}=15+x$

$\angle OBA+\angle OBE= \angle ABC= 113$

$\angle OBE =113-\angle OBA$

$x=113-(15+x)$

$2x=98$

$x=49$

3. 最終的な答え

49 度