右の図のように、2直線①、②が点A(4, 3)で交わっている。直線①の傾きは1、直線②の傾きは $-\frac{3}{4}$である。直線①、②とy軸との交点をそれぞれB、Cとする。以下の問いに答えよ。 (1) 直線①、②の式を求めよ。 (2) 点Bを通り直線②に平行な直線の式を求めよ。 (3) 線分ACの中点を通り、直線①に平行な直線の式を求めよ。 (4) 点Aを通り、直線①に垂直な直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

右の図のように、2直線①、②が点A(4, 3)で交わっている。直線①の傾きは1、直線②の傾きは $-\frac{3}{4}$である。直線①、②とy軸との交点をそれぞれB、Cとする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線①、②の式を求めよ。

(2) 点Bを通り直線②に平行な直線の式を求めよ。

(3) 線分ACの中点を通り、直線①に平行な直線の式を求めよ。

(4) 点Aを通り、直線①に垂直な直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線①は傾きが1で点A(4, 3)を通るので、式は $y = x + b$ とおける。

点Aの座標を代入すると、 $3 = 4 + b$ より $b = -1$ となる。

よって、直線①の式は $y = x - 1$ である。

直線②は傾きが $-\frac{3}{4}$ で点A(4, 3)を通るので、式は $y = -\frac{3}{4}x + b$ とおける。

点Aの座標を代入すると、$3 = -\frac{3}{4} \times 4 + b$ より $3 = -3 + b$ となり、$b = 6$ となる。

よって、直線②の式は $y = -\frac{3}{4}x + 6$ である。

(2) 点Bは直線①とy軸との交点なので、$y = x - 1$ に $x = 0$ を代入すると、$y = -1$ となり、B(0, -1)である。

点B(0, -1)を通り、直線②に平行な直線は、傾きが $-\frac{3}{4}$ なので、式は $y = -\frac{3}{4}x + b$ とおける。

点Bの座標を代入すると、 $-1 = -\frac{3}{4} \times 0 + b$ より $b = -1$ となる。

よって、求める直線は $y = -\frac{3}{4}x - 1$ である。

(3) 点Cは直線②とy軸との交点なので、$y = -\frac{3}{4}x + 6$ に $x = 0$ を代入すると、$y = 6$ となり、C(0, 6)である。

線分ACの中点Mの座標は、 $(\frac{4+0}{2}, \frac{3+6}{2}) = (2, \frac{9}{2})$ である。

点M$(2, \frac{9}{2})$を通り、直線①に平行な直線は、傾きが1なので、式は $y = x + b$ とおける。

点Mの座標を代入すると、$\frac{9}{2} = 2 + b$ より $b = \frac{5}{2}$ となる。

よって、求める直線は $y = x + \frac{5}{2}$ である。

(4) 点A(4, 3)を通り、直線①に垂直な直線は、傾きが-1なので、式は $y = -x + b$ とおける。

点Aの座標を代入すると、$3 = -4 + b$ より $b = 7$ となる。

よって、求める直線は $y = -x + 7$ である。

3. 最終的な答え

(1) 直線①：$y = x - 1$, 直線②：$y = -\frac{3}{4}x + 6$

(2) $y = -\frac{3}{4}x - 1$

(3) $y = x + \frac{5}{2}$

(4) $y = -x + 7$