曲線 $y = x^3 + 2x^2 - 3x$ と、その曲線上の点 $(-2, 6)$ における接線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2x^2 - 3x$ と、その曲線上の点 $(-2, 6)$ における接線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を求める。

$y = x^3 + 2x^2 - 3x$ を微分すると、

$y' = 3x^2 + 4x - 3$

$x = -2$ のとき、$y' = 3(-2)^2 + 4(-2) - 3 = 12 - 8 - 3 = 1$

よって、点 $(-2, 6)$ における接線の方程式は、

$y - 6 = 1(x - (-2))$

$y - 6 = x + 2$

$y = x + 8$

次に、曲線と接線の交点を求める。

$x^3 + 2x^2 - 3x = x + 8$

$x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0$

$(x + 2)$ が解であることはわかっているので、因数分解できる。

$(x + 2)(x^2 - 0x - 4) = 0$

$(x + 2)(x^2 - 4) = 0$

$(x + 2)(x - 2)(x + 2) = 0$

$(x + 2)^2(x - 2) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = -2, 2$

面積 $S$ は、積分を用いて求める。

$S = \int_{-2}^{2} |(x^3 + 2x^2 - 3x) - (x + 8)| dx$

$S = \int_{-2}^{2} |x^3 + 2x^2 - 4x - 8| dx$

$-2 \le x \le 2$ のとき、$x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x+2)^2(x-2) \le 0$ なので絶対値を外すと符号が変わる

$S = \int_{-2}^{2} -(x^3 + 2x^2 - 4x - 8) dx$

$S = \int_{-2}^{2} (-x^3 - 2x^2 + 4x + 8) dx$

$S = \left[-\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 8x\right]_{-2}^{2}$

$S = \left(-\frac{1}{4}(2)^4 - \frac{2}{3}(2)^3 + 2(2)^2 + 8(2)\right) - \left(-\frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{2}{3}(-2)^3 + 2(-2)^2 + 8(-2)\right)$

$S = \left(-4 - \frac{16}{3} + 8 + 16\right) - \left(-4 + \frac{16}{3} + 8 - 16\right)$

$S = \left(20 - \frac{16}{3}\right) - \left(-12 + \frac{16}{3}\right)$

$S = 20 - \frac{16}{3} + 12 - \frac{16}{3}$

$S = 32 - \frac{32}{3}$

$S = \frac{96 - 32}{3}$

$S = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$