ある電車が長さ540mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに40秒かかります。同じ速さで長さ500mのトンネルを通過するとき、25秒間は電車が見えません（トンネルに隠れています）。この電車の長さを求め、電車の秒速を求めます。

1. 問題の内容

ある電車が長さ540mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに40秒かかります。同じ速さで長さ500mのトンネルを通過するとき、25秒間は電車が見えません（トンネルに隠れています）。この電車の長さを求め、電車の秒速を求めます。

2. 解き方の手順

まず、電車の長さを $x$ m、速さを秒速 $v$ mとします。

鉄橋を渡るのにかかる時間は、電車の先頭が鉄橋に入り始めてから、電車の最後尾が鉄橋を通過するまでの時間です。このとき電車が進む距離は、鉄橋の長さと電車の長さを足したものです。したがって、次の式が成り立ちます。

$540 + x = 40v$

同様に、トンネルを通過するのにかかる時間は、電車の先頭がトンネルに入り始めてから、電車の最後尾がトンネルを通過するまでの時間です。このとき電車が進む距離は、トンネルの長さと電車の長さを足したものです。したがって、次の式が成り立ちます。

$500 + x = 25v$

この2つの式から $v$ を消去します。最初の式を25倍、2番目の式を40倍すると、

$25(540 + x) = 25 \cdot 40v$

$40(500 + x) = 40 \cdot 25v$

$13500 + 25x = 1000v$

$20000 + 40x = 1000v$

したがって、

$13500 + 25x = 20000 + 40x$

$15x = -6500$

$x = \frac{6500}{15} = \frac{1300}{3}$

計算ミスがあります。式を整理し直すと、

$20000 - 13500 = 6500$

$40x - 25x = 15x$

$15x = -6500$

$15x = -6500$

$6500 = -15x$

最初の式を25倍、2番目の式を40倍したので、2式の差を取ることで$v$を消去します。

$40(500 + x) - 25(540 + x) = 0$

$20000 + 40x - 13500 - 25x = 0$

$6500 + 15x = 0$

$15x = -6500$

計算をやり直します。

2つの式は以下の通りです。

$540 + x = 40v$

$500 + x = 25v$

2番目の式から $v$ を求めると

$v = (500 + x)/25$

これを1番目の式に代入します。

$540 + x = 40 \cdot (500 + x)/25$

$540 + x = \frac{8}{5}(500 + x)$

$5(540 + x) = 8(500 + x)$

$2700 + 5x = 4000 + 8x$

$3x = -1300$

$x = \frac{-1300}{3}$

どこで間違ったか確認します。

トンネルに「隠れていた」という文言から、$500 - x = 25v$と考えるようです。

$540+x = 40v$

$500-x = 25v$

上記2式を元に計算すると

$540+x = 40v = \frac{40}{25}(500-x) = \frac{8}{5}(500-x)$

$5(540+x) = 8(500-x)$

$2700+5x = 4000-8x$

$13x = 1300$

$x = 100$

$v = (500-100)/25 = 400/25 = 16$

電車の長さは100m、速さは秒速16m。

3. 最終的な答え

電車の長さは 100 m、速さは秒速 16 mである。