P地点とQ地点を結ぶ道がある。A君はP地点からQ地点へ、B君はQ地点からP地点へ同時に出発。A君は10分走って5分休憩、B君は5分走って5分休憩する。出発から55分後に二人はP地点とQ地点のちょうど真ん中で出会い、同時に目的地に到着した。B君の速さはA君より毎分50m速い。P地点からQ地点までの距離を求めよ。

1. 問題の内容

P地点とQ地点を結ぶ道がある。A君はP地点からQ地点へ、B君はQ地点からP地点へ同時に出発。A君は10分走って5分休憩、B君は5分走って5分休憩する。出発から55分後に二人はP地点とQ地点のちょうど真ん中で出会い、同時に目的地に到着した。B君の速さはA君より毎分50m速い。P地点からQ地点までの距離を求めよ。

2. 解き方の手順

A君の速さを $v_A$ (m/分)、B君の速さを $v_B$ (m/分)とします。

問題文より、$v_B = v_A + 50$です。

55分後に出会うまでに、A君は10分走って5分休むサイクルを3回繰り返し、さらに10分走った後5分休むか、走るかです。

55分 = 15分 * 3 + 10分

A君が走った時間の合計は $10 \times 3 + 10 = 40$分です。

B君は5分走って5分休むサイクルを5回繰り返し、さらに5分走った後5分休むか、走るかです。

55分 = 10分 * 5 + 5分

B君が走った時間の合計は $5 \times 5 + 5 = 30$分です。

出会った地点はP地点とQ地点の中間地点なので、A君が走った距離とB君が走った距離は等しいです。

よって、$40v_A = 30v_B$

$v_B = v_A + 50$を代入すると、$40v_A = 30(v_A + 50)$

$40v_A = 30v_A + 1500$

$10v_A = 1500$

$v_A = 150$ m/分

$v_B = v_A + 50 = 150 + 50 = 200$ m/分

P地点からQ地点までの距離を $d$ とします。A君がP地点からQ地点までかかる時間を $t_A$ とします。

A君は10分走って5分休むので、休憩時間は走る時間の半分です。

トータルの時間は休憩時間を足すと、$t_A = t_A(\text{走}) + t_A(\text{休}) = t_A(\text{走}) + \frac{t_A(\text{走})}{2}$

同様に、B君がQ地点からP地点までかかる時間を $t_B$ とすると、

$t_B = t_B(\text{走}) + t_B(\text{休}) = t_B(\text{走}) + t_B(\text{走})$

$t_B(\text{休}) = t_B(\text{走})$より、$t_B = 2t_B(\text{走})$

問題文より$t_A = t_B$です。

よって、P地点とQ地点の中間地点までの距離は $40v_A = 40 \times 150 = 6000$ mです。

P地点からQ地点までの距離は $2 \times 6000 = 12000$ mです。

A君が目的地までかかる時間は $t_A$で、B君も同様に$t_B$です。また、A君が走る時間と休憩時間の比率は2:1であり、B君が走る時間と休憩時間は同じです。

$t_A = d / v_A$, $t_B = d / v_B$

それぞれの走る時間は、$t_A(\text{走}) = \frac{2}{3}t_A$, $t_B(\text{走}) = \frac{1}{2}t_B$.

目的地に同時に到着したことから$t_A = t_B$であり、P地点とQ地点の中間地点までの距離は $v_A \cdot \frac{2}{3}t_A = v_B \cdot \frac{1}{2}t_B$と計算できる。また、$t_A = \frac{d}{v_A}$、$t_B = \frac{d}{v_B}$.

$55$ 分後に出会った場所は、$d/2 = v_A \times A\text{さんの走った時間} = v_A \times 40$, $d/2 = v_B \times B\text{さんの走った時間} = v_B \times 30$.

$d/2 = 150\times 40 = 6000$, $d = 12000$

3. 最終的な答え

12000 m