問題は2つあります。 問題1は、アルファベット8文字 "nobunaga" を並び替える問題です。 (1) "nobunaga"のすべての並べ方の総数を求める問題です。 (2) 並べ替えられた文字列において、"n" の左側に少なくとも1つの "a" があるような並べ方の数を求める問題です。 問題2は、格子状の道順に関する問題です。O地点からP地点へ最短距離で移動する方法を求める問題です。ただし、C地点は通れません。 (1) O地点からA地点を経由してP地点へ行く最短経路の数を求める問題です。 (2) O地点からB地点を経由してP地点へ行く最短経路の数を求める問題です。 (3) O地点からA地点とB地点の両方を経由してP地点へ行く最短経路の数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1は、アルファベット8文字 "nobunaga" を並び替える問題です。

(1) "nobunaga"のすべての並べ方の総数を求める問題です。

(2) 並べ替えられた文字列において、"n" の左側に少なくとも1つの "a" があるような並べ方の数を求める問題です。

問題2は、格子状の道順に関する問題です。O地点からP地点へ最短距離で移動する方法を求める問題です。ただし、C地点は通れません。

(1) O地点からA地点を経由してP地点へ行く最短経路の数を求める問題です。

(2) O地点からB地点を経由してP地点へ行く最短経路の数を求める問題です。

(3) O地点からA地点とB地点の両方を経由してP地点へ行く最短経路の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) "nobunaga" は8文字で、nが2つ、oが1つ、bが1つ、uが1つ、aが3つ、gが1つです。したがって、並べ方の総数は多項係数を用いて計算できます。

(2) "n" の左に少なくとも1つの "a" がある並べ方の数を求めるには、すべての並べ方の数から、"n" が "a" の左にない（つまり、すべての "a" がすべての "n" より右にある）並べ方の数を引けば良いです。

問題2:

(1) O地点からA地点への最短経路の数と、A地点からP地点への最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。ただし、C地点を通る経路は除外する必要があります。

(2) O地点からB地点への最短経路の数と、B地点からP地点への最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。ただし、C地点を通る経路は除外する必要があります。

(3) A地点とB地点の両方を通る経路の数を求めるには、O地点からA地点、A地点からB地点、B地点からP地点という経路を考えます。C地点を通る経路は除外する必要があります。 A, Bの経由順序が逆の経路も考慮する必要があります。

問題1の(1):

並べ方の総数は、$\frac{8!}{2!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 3360$通りです。

問題1の(2):

すべての並べ方から、すべてのaがすべてのnより右にある並べ方を引きます。nとa以外 (o,b,u,g) の並べ方は 4! = 24通り。

aが3つ、nが2つの並べ方を考えます。これは5文字の並べ替えで、$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

よって、aがnより右にある並べ方は $24 \times 10 = 240$通り。

求める並べ方は、$3360 - 240 = 3120$通り。

問題2の(1):

OからAへは、右に2回、上に2回移動するので、$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り。

AからPへは、右に4回、上に5回移動するので、$\frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り。

したがって、$6 \times 126 = 756$通り。

問題2の(2):

OからBへは、右に1回、下に1回移動するので、$\frac{2!}{1!1!} = 2$通り。

BからPへは、右に5回、上に6回移動するので、$\frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462$通り。

したがって、$2 \times 462 = 924$通り。

問題2の(3):

OからAからBからPへの経路の数を計算します。

OからAは6通り。

AからBは右に1回、下に3回移動するので、$\frac{4!}{1!3!} = 4$通り。

BからPは462通り。

したがって、$6 \times 4 \times 462 = 11088$通り。

OからBからAからPへの経路の数を計算します。

OからBは2通り。

BからAは右に1回、上に3回移動するので、$\frac{4!}{1!3!} = 4$通り。

AからPは126通り。

したがって、$2 \times 4 \times 126 = 1008$通り。

したがって、合計は$11088 + 1008 = 12096$通り。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 3360通り

(2) 3120通り

問題2:

(1) 756通り

(2) 924通り

(3) 12096通り