大人6人、子供5人の合計11人の中から4人を選ぶ。 (1) 大人が2人、子供が2人となる選び方は何通りか。 (2) 少なくとも1人の大人を選ぶ選び方は何通りか。

1. 問題の内容

大人6人、子供5人の合計11人の中から4人を選ぶ。

(1) 大人が2人、子供が2人となる選び方は何通りか。

(2) 少なくとも1人の大人を選ぶ選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 大人が2人、子供が2人を選ぶ場合

6人の中から大人2人を選ぶ組み合わせは $_6C_2$ 通り。

5人の中から子供2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通り。

よって、組み合わせの総数は $_6C_2 \times _5C_2$ 通りとなる。

ここで、 $_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、 $_6C_2 \times _5C_2 = 15 \times 10 = 150$ 通り

(2) 少なくとも1人の大人を選ぶ場合

これは、全体の場合の数から大人を1人も選ばない場合を引くことで求められる。

全体の場合の数は、11人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_{11}C_4$ 通り。

$_{11}C_4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$ 通り。

大人を1人も選ばない場合は、子供5人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、$_5C_4$ 通り。

$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5$ 通り。

よって、少なくとも1人の大人を選ぶ選び方は、$_{11}C_4 - _5C_4 = 330 - 5 = 325$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 150通り

(2) 325通り