$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin{x} - \cos{x} = 1$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin{x} - \cos{x} = 1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sin{x} - \cos{x} = 1$ を変形する。

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin{x}\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin{(x - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x - \frac{\pi}{4} = \theta$ とおくと、$\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

ここで、$-\frac{\pi}{4} \le \theta < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

$\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

したがって、

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ より、$x = \frac{\pi}{2}$

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ より、$x = \pi$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{2}, \pi$