不等式 $(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2x-3} \leq 32^{x+1}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2x-3} \leq 32^{x+1}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、底を2に統一します。

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}$

$32 = 2^5$

したがって、不等式は次のように書き換えられます。

$(2^{-3/2})^{2x-3} \leq (2^5)^{x+1}$

$2^{(-3/2)(2x-3)} \leq 2^{5(x+1)}$

底が2で1より大きいので、指数部分の大小関係が元の不等号と同じになります。

$-\frac{3}{2}(2x-3) \leq 5(x+1)$

$-3x + \frac{9}{2} \leq 5x + 5$

両辺に2をかけて分母を払います。

$-6x + 9 \leq 10x + 10$

$-1 \leq 16x$

$16x \geq -1$

$x \geq -\frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$x \geq -\frac{1}{16}$