数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{3}a_n - 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、第16項 $a_{16}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{3}a_n - 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、第16項 $a_{16}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3}a_n - 2$ を変形します。特性方程式 $x = \sqrt{3}x - 2$ を解くと、$(\sqrt{3} - 1)x = 2$ となり、$x = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1$ です。

したがって、$a_{n+1} - (\sqrt{3} + 1) = \sqrt{3}(a_n - (\sqrt{3} + 1))$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - (\sqrt{3} + 1)$ とおくと、$b_{n+1} = \sqrt{3}b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\sqrt{3}$ の等比数列です。

初項は $b_1 = a_1 - (\sqrt{3} + 1) = 1 - (\sqrt{3} + 1) = -\sqrt{3}$ です。

よって、$b_n = (-\sqrt{3}) (\sqrt{3})^{n-1} = -(\sqrt{3})^n$ となります。

$a_n = b_n + (\sqrt{3} + 1)$ なので、$a_n = -(\sqrt{3})^n + \sqrt{3} + 1$ となります。

$a_{16}$ を求めるので、$n = 16$ を代入すると、

$a_{16} = -(\sqrt{3})^{16} + \sqrt{3} + 1 = -(3^8) + \sqrt{3} + 1 = -6561 + \sqrt{3} + 1 = -6560 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a_{16} = -6560 + \sqrt{3}$