与えられた連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。4つの連立一次方程式が与えられています。 (1) $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。4つの連立一次方程式が与えられています。

(1) $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

各連立一次方程式に対して、拡大係数行列を作成し、行基本変形（掃き出し法）を用いて解きます。行基本変形とは、以下の3つの操作のことです。

1. ある行を定数倍する。

2. ある行に別の行の定数倍を加える。

3. 2つの行を入れ替える。

(1)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ です。

1行目と2行目を入れ替えます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -7 \end{bmatrix}$

2行目を4で割ります: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -7/4 \end{bmatrix}$

1行目に2行目を加えます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1 & -7/4 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = 1/4$、$x_2 = -7/4$

(2)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ です。

1行目と2行目を入れ替えます: $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \end{bmatrix}$

2行目を-4で割ります: $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1/2 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の3倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3/2 \\ 0 & 1 & -1/2 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = 3/2$、$x_2 = -1/2$

(3)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ です。

1行目と3行目を入れ替えます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 5 \end{bmatrix}$

2行目に-1をかけます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 5 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 7 & 7 \end{bmatrix}$

3行目を7で割ります: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

1行目に3行目を加えます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に3行目の2倍を加えます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = -1$、$x_2 = 0$、$x_3 = 1$

(4)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}$ です。

1行目と2行目を入れ替えます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & -6 & -5 \end{bmatrix}$

2行目を5で割ります: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2/5 & 2/5 \\ 0 & 4 & -6 & -5 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の4倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2/5 & 2/5 \\ 0 & 0 & -22/5 & -33/5 \end{bmatrix}$

3行目に-5/22をかけます: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2/5 & 2/5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{bmatrix}$

1行目に2行目を加えます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3/5 & 7/5 \\ 0 & 1 & -2/5 & 2/5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の3/5倍を引きます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & -2/5 & 2/5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{bmatrix}$

2行目に3行目の2/5倍を加えます: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = 1/2$、$x_2 = 1$、$x_3 = 3/2$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = 1/4, x_2 = -7/4$

(2) $x_1 = 3/2, x_2 = -1/2$

(3) $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$

(4) $x_1 = 1/2, x_2 = 1, x_3 = 3/2$