次の不等式を解きます。 $(\frac{1}{2 \cdot \sqrt[4]{2}})^{2x-3} \leq 32^{x+1}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$(\frac{1}{2 \cdot \sqrt[4]{2}})^{2x-3} \leq 32^{x+1}$

2. 解き方の手順

まず、底を2に統一します。

$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$なので、

$2 \cdot \sqrt[4]{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

$\frac{1}{2 \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{1}{2^{\frac{5}{4}}} = 2^{-\frac{5}{4}}$

$32 = 2^5$なので、不等式は次のようになります。

$(2^{-\frac{5}{4}})^{2x-3} \leq (2^5)^{x+1}$

指数法則より、

$2^{-\frac{5}{4}(2x-3)} \leq 2^{5(x+1)}$

底が2で1より大きいので、指数の大小関係はそのまま不等号の向きを保ちます。

$-\frac{5}{4}(2x-3) \leq 5(x+1)$

両辺に$\frac{4}{5}$をかけると、

$-(2x-3) \leq 4(x+1)$

$-2x+3 \leq 4x+4$

$-6x \leq 1$

$x \geq -\frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$x \geq -\frac{1}{6}$