媒介変数 $t$ で表された関数 $x = t + \sin t$, $y = (1 + \cos t)^2$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = t + \sin t$, $y = (1 + \cos t)^2$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (t + \sin t) = 1 + \cos t$$

$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (1 + \cos t)^2 = 2(1 + \cos t)(-\sin t) = -2(1 + \cos t)\sin t$$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-2(1 + \cos t)\sin t}{1 + \cos t} = -2\sin t$$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt} \left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

$\frac{dy}{dx} = -2\sin t$ なので、$\frac{d}{dt} \left(\frac{dy}{dx}\right) = -2\cos t$ となります。

したがって、

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2\cos t}{1 + \cos t}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -2\sin t$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2\cos t}{1 + \cos t}$