(1) $x < 1$ は $-1 < x < 1$ であるための何条件か答えよ。 (2) 実数 $a, b, c$ について, $a < b$ であることは $a+c < b+c$ であるための何条件か答えよ。ここで, 条件は「十分条件」、「必要条件」、「必要十分条件」のいずれかである。

1. 問題の内容

(1) $x < 1$ は $-1 < x < 1$ であるための何条件か答えよ。

(2) 実数 $a, b, c$ について, $a < b$ であることは $a+c < b+c$ であるための何条件か答えよ。ここで, 条件は「十分条件」、「必要条件」、「必要十分条件」のいずれかである。

2. 解き方の手順

(1)

まず，$x < 1$ ならば $-1 < x < 1$ が成り立つかどうかを検討する。例えば、$x = -2$ のとき, $x < 1$ は成り立つが, $-1 < x < 1$ は成り立たない。したがって, $x < 1$ は $-1 < x < 1$ であるための十分条件ではない。

次に, $-1 < x < 1$ ならば $x < 1$ が成り立つかどうかを検討する。$-1 < x < 1$ は $x$ が $-1$ より大きく $1$ より小さいことを意味するので, 必ず $x < 1$ は成り立つ。したがって, $x < 1$ は $-1 < x < 1$ であるための必要条件である。

以上より，$x < 1$ は $-1 < x < 1$ であるための必要条件である。

(2)

まず，$a < b$ ならば $a+c < b+c$ が成り立つかどうかを検討する。$a < b$ の両辺に $c$ を足すと $a+c < b+c$ となるので, $a < b$ ならば $a+c < b+c$ は成り立つ。したがって, $a < b$ は $a+c < b+c$ であるための十分条件である。

次に，$a+c < b+c$ ならば $a < b$ が成り立つかどうかを検討する。$a+c < b+c$ の両辺から $c$ を引くと $a < b$ となるので, $a+c < b+c$ ならば $a < b$ は成り立つ。したがって, $a < b$ は $a+c < b+c$ であるための必要条件である。

$a < b$ は $a+c < b+c$ であるための十分条件であり, 必要条件でもあるので, $a < b$ は $a+c < b+c$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 必要

(2) 必要十分