与えられた数式を計算し、簡略化します。ただし、$a \ne 0$、$b \ne 0$とします。 (1) $(\frac{1}{8})^2 \times 2^4$ (2) $15^3 \times 3^{-4} \times (\frac{1}{5})^2$ (3) $(a^{-2}b)^3 \times (ab^{-1})^{-2}$ (4) $\frac{(6a^{-1}b^2)^3}{(2ab^{-1})^2}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、簡略化します。ただし、$a \ne 0$、$b \ne 0$とします。

(1) $(\frac{1}{8})^2 \times 2^4$

(2) $15^3 \times 3^{-4} \times (\frac{1}{5})^2$

(3) $(a^{-2}b)^3 \times (ab^{-1})^{-2}$

(4) $\frac{(6a^{-1}b^2)^3}{(2ab^{-1})^2}$

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{1}{8})^2 \times 2^4$

まず、$8 = 2^3$ であることを利用します。

$(\frac{1}{8})^2 = (\frac{1}{2^3})^2 = \frac{1}{(2^3)^2} = \frac{1}{2^6}$

与式は $\frac{1}{2^6} \times 2^4 = 2^{-6} \times 2^4 = 2^{-6+4} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

(2) $15^3 \times 3^{-4} \times (\frac{1}{5})^2$

$15 = 3 \times 5$ なので、$15^3 = (3 \times 5)^3 = 3^3 \times 5^3$

与式は $3^3 \times 5^3 \times 3^{-4} \times 5^{-2} = 3^{3-4} \times 5^{3-2} = 3^{-1} \times 5^1 = \frac{5}{3}$

(3) $(a^{-2}b)^3 \times (ab^{-1})^{-2}$

$(a^{-2}b)^3 = a^{-6}b^3$

$(ab^{-1})^{-2} = a^{-2}(b^{-1})^{-2} = a^{-2}b^2$

与式は $a^{-6}b^3 \times a^{-2}b^2 = a^{-6-2}b^{3+2} = a^{-8}b^5 = \frac{b^5}{a^8}$

(4) $\frac{(6a^{-1}b^2)^3}{(2ab^{-1})^2}$

分子: $(6a^{-1}b^2)^3 = 6^3(a^{-1})^3(b^2)^3 = 216a^{-3}b^6$

分母: $(2ab^{-1})^2 = 2^2a^2(b^{-1})^2 = 4a^2b^{-2}$

与式は $\frac{216a^{-3}b^6}{4a^2b^{-2}} = \frac{216}{4} \times a^{-3-2}b^{6-(-2)} = 54a^{-5}b^8 = \frac{54b^8}{a^5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{5}{3}$

(3) $\frac{b^5}{a^8}$

(4) $\frac{54b^8}{a^5}$