次の式を簡単にします。 (1) $\sqrt{3} \times \sqrt[4]{6} \times \frac{1}{\sqrt[4]{540}} \times \sqrt[4]{10}$ (2) $(x^p)^{q-r} (x^q)^{r-p} (x^r)^{p-q}$

1. 問題の内容

次の式を簡単にします。

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt[4]{6} \times \frac{1}{\sqrt[4]{540}} \times \sqrt[4]{10}$

(2) $(x^p)^{q-r} (x^q)^{r-p} (x^r)^{p-q}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、すべてを4乗根の形にします。

$\sqrt{3} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt[4]{9}$

よって、式は次のようになります。

$\sqrt[4]{9} \times \sqrt[4]{6} \times \frac{1}{\sqrt[4]{540}} \times \sqrt[4]{10}$

根号の中身をまとめます。

$\sqrt[4]{\frac{9 \times 6 \times 10}{540}}$

$\sqrt[4]{\frac{540}{540}} = \sqrt[4]{1} = 1$

(2)

指数の法則を使って、それぞれの項を簡略化します。

$(x^p)^{q-r} = x^{p(q-r)} = x^{pq - pr}$

$(x^q)^{r-p} = x^{q(r-p)} = x^{qr - qp}$

$(x^r)^{p-q} = x^{r(p-q)} = x^{rp - rq}$

したがって、式は次のようになります。

$x^{pq - pr} \times x^{qr - qp} \times x^{rp - rq}$

指数の法則を使って、指数を足し合わせます。

$x^{(pq - pr) + (qr - qp) + (rp - rq)} = x^{pq - pr + qr - qp + rp - rq}$

$x^{pq - qp - pr + rp + qr - rq}$

指数部分のすべての項が打ち消しあい、0になります。

$x^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1