(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求める。 (2) $100$ 桁の正の整数で、各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求める。

(2) $100$ 桁の正の整数で、各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求める。

$2020 = 20 \times 101 = 4 \times 5 \times 101$ である。

$10^{10}$ は $4$ と $5$ で割り切れるので、$20$ で割り切れる。

$10^{10} = 100 \times 10^8$

$10^{10} = 2020 \times Q + R$ (Qは商、Rは余り)

$10^{10} = 20 \times 100 \times 10^6$

$10^{10} = 2020 \times (10^8 / 20.2)$

$10^{10} \equiv R \pmod{2020}$

$10^{10} = 100 \times (10^2)^4 = 100 \times 10000^4 \pmod{2020}$

$10^{10} = 2020n + R$

$10^{10} = (10^5)^2 = 10^{10}$

$10^{10} \equiv 0 \pmod{4}$

$10^{10} \equiv 0 \pmod{5}$

$10^{10} = (10^2)^5 = 100^5 \pmod{101}$

$100^5 \equiv (-1)^5 \equiv -1 \equiv 100 \pmod{101}$

$10^{10} = 101k + 100$

$10^{10} = 2020n + R$

$R \equiv 0 \pmod{20}$

$R = 20m$

$101k + 100 = 20m$

$101k \equiv -100 \pmod{20}$

$101k \equiv -100+100 \pmod{20}$

$101k \equiv 0 \pmod{20}$

$k \equiv 0 \pmod{20}$

$k = 20p$

$101 \times 20p + 100 = 2020p + 100$

$R = 100$

(2) $100$ 桁の正の整数で、各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求める。

$100$ 桁の正の整数で、各位の数の和が $2$ となるものは、以下のいずれかの形をしている。

- $2000\cdots0$ ($2$ の後に $99$ 個の $0$)

- $11000\cdots0$ ($1$ が $2$ つ、$0$ が $98$ 個)

- $101000\cdots0$

- $1001000\cdots0$

- $\vdots$

- $1000\cdots010$

- $1000\cdots001$ ($1$ が $2$ つ、$0$ が $98$ 個)

すなわち、$2 \times 10^{99}$ または、$10^n + 10^m$, ($n \neq m$, $n, m$ は $0$ 以上 $99$ 以下の整数)

$2 \times 10^{99} = 2 \times 10^2 \times 10^{97} = 200 \times 10^{97}$

これが $2020$ で割り切れるかどうかを調べる。

$200 \times 10^{97} / 2020 = 100 \times 10^{97} / 1010 = 10^{98} / 101$

$200 \times 10^{97} \equiv R \pmod{2020}$

$10^n+10^m = 2020k$

$100 \equiv R \pmod{2020}$

$10^n + 10^m = 10^m (10^{n-m} + 1)$

$10^{n-m} + 1 = 2020x$

$10^{n-m} = 2020x - 1$

$2020で割り切れるということは、4で割り切れ、5で割り切れ、101で割り切れるということ。各位の和が2になるのは、200...0 か 100...0100...0 の形。

$2 \times 10^{99}$が2020で割り切れるとすると、$2 \times 10^{99} = 2020n$。これはありえない。

$10^n+10^mが2020で割り切れるとき、$10^n+10^m \equiv 0 mod 2020$.$n>mとして10^m(10^{n-m}+1)\equiv 0 mod 2020$.

$10^mは2^m*5^mで、2020は4*5*101。101は素数。$n-m=k。10^k+1 \equiv 0 mod 101$.

$kが偶数のとき割り切れない。$10^k \equiv -1 mod 101$となる$kを探す。

$10^1 \equiv 10 mod 101$

$10^2 \equiv 100 \equiv -1 mod 101$

$10^3 \equiv -10 mod 101$

$10^4 \equiv 1 mod 101$

$kは2$の奇数倍。$kは５０個。50, 150, ... は100桁に収まらないので$

$n-m=50.$

$n<=99なので、mは49まで。mは0-49までの50個。よって、50個。$

3. 最終的な答え

(1) 100

(2) 50