整数 $a$ を $n$ 回かけることを $a \times \langle n \rangle$ で表し、整数 $b$ の一の位の数を $||b||$ で表す。$a$ が整数のとき、$|| a \times \langle 10 \rangle || = 9$ を満たす $||a||$ の値を1～5の中から選ぶ問題。

1. 問題の内容

整数 $a$ を $n$ 回かけることを $a \times \langle n \rangle$ で表し、整数 $b$ の一の位の数を $||b||$ で表す。$a$ が整数のとき、$|| a \times \langle 10 \rangle || = 9$ を満たす $||a||$ の値を1～5の中から選ぶ問題。

2. 解き方の手順

$a \times \langle 10 \rangle$ は、$a$ を10回かけるという意味である。

つまり、$a \times \langle 10 \rangle = a^{10}$ である。

$|| a \times \langle 10 \rangle || = || a^{10} || = 9$ ということである。

$||a||$ の値として、1, 3, 7, 9 のいずれかを仮定して、$a^{10}$ の一の位が9になるかどうかを考える。

* $||a|| = 1$ の場合、$1^{10} = 1$ より、一の位は1となる。

* $||a|| = 3$ の場合、$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243, 3^6 = 729...$ となるので、一の位は3, 9, 7, 1, 3, 9, ... と繰り返す。$3^{10}$ の一の位は9となる。

* $||a|| = 7$ の場合、$7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 343, 7^4 = 2401, 7^5 = 16807, 7^6 = 117649...$ となるので、一の位は7, 9, 3, 1, 7, 9, ... と繰り返す。$7^{10}$ の一の位は9となる。

* $||a|| = 9$ の場合、$9^1 = 9, 9^2 = 81, 9^3 = 729, 9^4 = 6561...$ となるので、一の位は9, 1, 9, 1, ... と繰り返す。$9^{10}$ の一の位は1となる。

したがって、$||a||$ は3または7の可能性がある。

3. 最終的な答え

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