(3) 1次関数 $y = -3x - 6$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。 (4) 関数 $y = 2x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 1次関数 $y = -3x - 6$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。

(4) 関数 $y = 2x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

1次関数 $y = -3x - 6$ は、$x$ の係数が負であるため、減少関数である。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少する。したがって、$x$ が最小値のとき $y$ は最大値をとり、$x$ が最大値のとき $y$ は最小値をとる。

* $x = -1$ のとき、$y = -3(-1) - 6 = 3 - 6 = -3$

* $x = 3$ のとき、$y = -3(3) - 6 = -9 - 6 = -15$

よって、$y$ の変域は $-15 \le y \le -3$ である。

(4)

関数 $y = 2x^2$ は、下に凸の放物線である。$x$ の変域 $-1 \le x \le 3$ において、$x=0$ が含まれる。したがって、$y$ の最小値は $x=0$ のときの $y=0$ である。

$x=-1$ のとき、$y = 2(-1)^2 = 2(1) = 2$

$x=3$ のとき、$y = 2(3)^2 = 2(9) = 18$

$x=-1$ のときの $y$ の値は $2$ であり、$x=3$ のときの $y$ の値は $18$ である。$x=0$ において$y$ は最小値 $0$ を取る。

したがって、$y$ の最大値は $18$ である。

よって、$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ である。

3. 最終的な答え

(3) $-15 \le y \le -3$

(4) $0 \le y \le 18$