(5) 1次関数 $y = -2x + 6$ において、 $x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le b$ となった。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 (6) 関数 $y = x^2$ において、$x$ の変域が $a \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 9$ となった。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(5) 1次関数 $y = -2x + 6$ において、 $x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le b$ となった。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(6) 関数 $y = x^2$ において、$x$ の変域が $a \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 9$ となった。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(5)

1次関数 $y = -2x + 6$ は、$x$ が増加すると $y$ が減少する減少関数です。

$x = 0$ のとき、$y = -2(0) + 6 = 6$

$x = a$ のとき、$y = -2a + 6$

$x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le 6$ または $6 \le y \le 2$ となります。

$y$ の変域が $2 \le y \le b$ であることから、$x=a$ のときに $y=2$ となることがわかります。

よって、 $-2a + 6 = 2$ を解くと、

$-2a = -4$

$a = 2$

また、$x=0$ のとき、$y=6$ なので、$b=6$ となります。

(6)

関数 $y = x^2$ について、$x$ の変域が $a \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 9$ となります。

$x = 1$ のとき、$y = 1^2 = 1$ です。

$y$ の最大値が 9 であることから、$a \le x \le 1$ の範囲に $x= -3$ または $x=3$ が含まれている必要があります。

しかし、$a \le x \le 1$ であることから、$x = 3$ は範囲外です。

したがって、$x = -3$ が範囲に含まれることになり、$a \le -3$ でなければなりません。

また、二乗関数は $x=0$ 付近で値の変化が小さく、$x = \pm 3$ 付近で値の変化が大きくなるので、$a \le x \le 1$ の範囲に $x = 0$ が含まれている場合、$y$ の最小値は $b=0$ になります。

$x$ の範囲から考えて、$a$ は負の値になる必要があります。

$x = 1$ のとき、$y = 1$ で、$b \le y \le 9$ であることから、$b=1$ です。

$x = a$ のとき、$y = a^2 = 9$ となるため、$a = \pm 3$ となります。

$a \le x \le 1$ より、$a = -3$ です。

3. 最終的な答え

(5) $a = 2$, $b = 6$

(6) $a = -3$, $b = 1$