(1) 連続する2つの自然数のうち、小さい方を $n$ とするとき、2つの数の和が常に奇数になることを示す。 (2) 百の位が $x$ 、十の位が5、一の位が $y$ である3桁の整数を $x, y$ の式で表す。 (3) 十の位の数が一の位の数より大きい2桁の自然数を $A$ とする。$A$ の十の位と一の位の数を入れ替えてできる自然数を $B$ とする。$A-B$ が、常に9の倍数になることを説明する。 (4) 図において、大きい円は小さい円より半径が1cm大きい。小さい円の半径が $r$ cmのとき、2つの円の周の差を求める。

1. 問題の内容

(1) 連続する2つの自然数のうち、小さい方を $n$ とするとき、2つの数の和が常に奇数になることを示す。

(2) 百の位が $x$ 、十の位が5、一の位が $y$ である3桁の整数を $x, y$ の式で表す。

(3) 十の位の数が一の位の数より大きい2桁の自然数を $A$ とする。$A$ の十の位と一の位の数を入れ替えてできる自然数を $B$ とする。$A-B$ が、常に9の倍数になることを説明する。

(4) 図において、大きい円は小さい円より半径が1cm大きい。小さい円の半径が $r$ cmのとき、2つの円の周の差を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連続する2つの自然数は $n$ と $n+1$ で表せる。

これらの和は $n + (n+1) = 2n+1$ となる。

$2n$ は偶数であり、偶数に1を足すと奇数になる。したがって、連続する2つの自然数の和は常に奇数になる。

(2) 百の位が $x$ 、十の位が5、一の位が $y$ である3桁の整数は、$100x + 10 \times 5 + y = 100x + 50 + y$ で表せる。

(3) 2桁の自然数 $A$ の十の位を $a$ 、一の位を $b$ とすると、$A = 10a + b$ と表せる。ただし、$a > b$ である。

$A$ の十の位と一の位を入れ替えてできる自然数 $B$ は、$B = 10b + a$ と表せる。

このとき、$A - B = (10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a-b)$ となる。

$a$ と $b$ は整数なので、$a-b$ も整数である。したがって、$A-B$ は9の倍数になる。

(4) 小さい円の半径が $r$ cmなので、小さい円の周は $2 \pi r$ cmである。

大きい円の半径は $(r+1)$ cmなので、大きい円の周は $2 \pi (r+1) = 2 \pi r + 2 \pi$ cmである。

2つの円の周の差は $(2 \pi r + 2 \pi) - 2 \pi r = 2 \pi$ cmである。

3. 最終的な答え

(1) 連続する2つの自然数の和は常に奇数になる。

(2) $100x + 50 + y$

(3) $A-B = 9(a-b)$ となるので、$A-B$ は常に9の倍数になる。

(4) $2 \pi$ cm