関数 $y = ax^2$ のグラフ上に3点A, B, Cがある。点Bの座標は(2, 1)であり、直線ABはx軸に平行である。y軸上に点Dをとり、四角形ABCDが平行四辺形となるようにする。 (1) 定数 $a$ の値を求める。 (2) 3点A, D, Cの座標をそれぞれ求める。 (3) 平行四辺形を直線OCで分割したとき、小さい部分の面積を $S_1$ 、大きい部分の面積を $S_2$ とする。このとき、$S_1 : S_2$ を求める。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ のグラフ上に3点A, B, Cがある。点Bの座標は(2, 1)であり、直線ABはx軸に平行である。y軸上に点Dをとり、四角形ABCDが平行四辺形となるようにする。

(1) 定数 $a$ の値を求める。

(2) 3点A, D, Cの座標をそれぞれ求める。

(3) 平行四辺形を直線OCで分割したとき、小さい部分の面積を $S_1$ 、大きい部分の面積を $S_2$ とする。このとき、$S_1 : S_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 定数 $a$ の値を求める。

点B(2, 1)は $y = ax^2$ 上にあるので、これを代入すると、

$1 = a(2^2)$

$1 = 4a$

$a = \frac{1}{4}$

(2) 3点A, D, Cの座標をそれぞれ求める。

Aのy座標はBと同じで1である。$y = \frac{1}{4}x^2$ に $y = 1$ を代入すると、

$1 = \frac{1}{4}x^2$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Aはx座標が負なので、A(-2, 1)

四角形ABCDは平行四辺形なので、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

B(2, 1), A(-2, 1)より、$\overrightarrow{AB} = (2 - (-2), 1 - 1) = (4, 0)$

Cのx座標を $x_c$ とすると、Cのy座標は $y_c = \frac{1}{4} x_c^2$ 。したがって C($x_c$, $\frac{1}{4} x_c^2$)

Dはy軸上にあるので、D(0, $y_d$)。

$\overrightarrow{DC} = (x_c - 0, \frac{1}{4}x_c^2 - y_d) = (x_c, \frac{1}{4}x_c^2 - y_d)$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$より、$(4, 0) = (x_c, \frac{1}{4}x_c^2 - y_d)$

よって $x_c = 4$, $\frac{1}{4} x_c^2 - y_d = 0$

$x_c = 4$ より、 $y_c = \frac{1}{4}(4^2) = 4$。したがって、C(4, 4)

$y_d = \frac{1}{4}x_c^2 = \frac{1}{4}(4^2) = 4$。したがって、D(0, 4)

(3) 平行四辺形を直線OCで分割したとき、$S_1 : S_2$ を求める。

平行四辺形ABCDの面積は、底辺AB × 高さ。

ABの長さ = 2 - (-2) = 4

高さ = 4 - 1 = 3

平行四辺形ABCDの面積 = 4 * 3 = 12

三角形ODCの面積 = (1/2) * OD * Cのx座標 = (1/2) * 4 * 4 = 8

三角形OABの面積 = 0 (点A, Bのy座標が同じ)

直線OC: $y=x$

$S_1$: ODCの面積は８

$S_2$:ABCDの面積 - ODCの面積 = 12 - 8 = 4

$S_1 : S_2 = 8 : 4 = 2 : 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{4}$

(2) A(-2, 1), D(0, 4), C(4, 4)

(3) $S_1 : S_2 = 2 : 1$