右図のように、2次関数 $y = ax^2$ (1) のグラフが2点A(3,1), B(3,9) を結ぶ線分ABと交わるとき、以下の問いに答える。 (1) 定数 $a$ の取り得る値の範囲を求めよ。 (2) 線分ABと(1)のグラフの交点をPとする。三角形OABの面積が三角形OAPの面積の2倍となるとき、 (ア) 点Pの座標を求めよ。 (イ) 定数 $a$ の値を求めよ。 (3) (1)のグラフ上にあり、x座標が5である点をQとする。直線OQの傾きをmとするとき、mの取り得る値の範囲を求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

右図のように、2次関数 $y = ax^2$ (1) のグラフが2点A(3,1), B(3,9) を結ぶ線分ABと交わるとき、以下の問いに答える。

(1) 定数 $a$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(2) 線分ABと(1)のグラフの交点をPとする。三角形OABの面積が三角形OAPの面積の2倍となるとき、

(ア) 点Pの座標を求めよ。

(イ) 定数 $a$ の値を求めよ。

(3) (1)のグラフ上にあり、x座標が5である点をQとする。直線OQの傾きをmとするとき、mの取り得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点A(3,1)と点B(3,9)を通る線分ABは、$x=3$の直線の一部である。

関数 $y = ax^2$ のグラフが線分ABと交わるためには、

$x=3$のときのyの値が1以上9以下でなければならない。

$x=3$を$y = ax^2$に代入すると、$y = 9a$となる。

したがって、$1 \le 9a \le 9$ を満たす必要がある。

各辺を9で割ると、

$\frac{1}{9} \le a \le 1$

(2)

(ア)

A(3,1), B(3,9)であるから、線分ABの長さは$9-1=8$である。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \times 3 \times 8 = 12$

$\triangle OAP = \frac{1}{2} \times 3 \times (Pのy座標)$

$\triangle OAB = 2\triangle OAP$より、

$12 = 2 \times \frac{1}{2} \times 3 \times (Pのy座標)$

$12 = 3 \times (Pのy座標)$

$Pのy座標 = 4$

Pは$x=3$上の点なので、P(3,4)

(イ)

P(3,4)が$y = ax^2$上にあるので、

$4 = a \times 3^2$

$4 = 9a$

$a = \frac{4}{9}$

(3)

Qのx座標は5なので、$y = ax^2$に代入すると、$Q(5, 25a)$

O(0,0)とQ(5, 25a)を通る直線の傾きmは、

$m = \frac{25a - 0}{5 - 0} = 5a$

(1)より$\frac{1}{9} \le a \le 1$なので、

$\frac{5}{9} \le 5a \le 5$

$\frac{5}{9} \le m \le 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{9} \le a \le 1$

(2) (ア) P(3,4)

(イ) $a = \frac{4}{9}$

(3) $\frac{5}{9} \le m \le 5$