$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1, p_2, p_1 - 2p_2)$ $b = -2p_1 - p_2$ このとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} , p,q,r \in \mathbb{R}$ が正しいか？ ただし、画像のベクトルには4つの要素がありますが、$A$は3x3の行列だと考えられるので、最初の3つの要素のみが意味を持ち、最後の要素は無関係であると仮定します。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1, p_2, p_1 - 2p_2)$

$b = -2p_1 - p_2$

このとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} , p,q,r \in \mathbb{R}$ が正しいか？

ただし、画像のベクトルには4つの要素がありますが、$A$は3x3の行列だと考えられるので、最初の3つの要素のみが意味を持ち、最後の要素は無関係であると仮定します。

2. 解き方の手順

$A = (p_1, p_2, p_1 - 2p_2)$ なので、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (p_1 - 2p_2) = (x_1 + x_3) p_1 + (x_2 - 2x_3) p_2$

$Ax = b = -2p_1 - p_2$ と比較すると、

$x_1 + x_3 = -2$

$x_2 - 2x_3 = -1$

与えられた解のパラメータ表示を $x$ とすると、

$x_1 = -2 + p + 0q - r$

$x_2 = -1 + 0p + q + 3r$

$x_3 = 0 + p - 2q + 2r$

となるので、

$x_1 + x_3 = -2 + p - r + p - 2q + 2r = -2 + 2p - 2q + r$

$x_2 - 2x_3 = -1 + q + 3r - 2(p - 2q + 2r) = -1 + q + 3r - 2p + 4q - 4r = -1 - 2p + 5q - r$

解の条件と比較すると、

$-2 + 2p - 2q + r = -2$

$-1 - 2p + 5q - r = -1$

これを解くと、

$2p - 2q + r = 0$

$-2p + 5q - r = 0$

足し合わせると $3q = 0$ となり、$q=0$

$2p + r = 0$ より $r = -2p$

したがって $x_3 = p - 2q + 2r = p - 0 - 4p = -3p$ となり、任意の $p$ に対して解が存在する。

自由度1の解空間を持つ。

与えられたパラメータ表示は、$p$ のみを含むベクトル空間の基底を持つべきであり、もし自由度が1であるならば、$q,r$ は $p$ で表されるはずである。

試しに $A\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} = -2p_1 - p_2 = b$

$A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = p_1 + p_1 - 2p_2 = 2p_1 - 2p_2 \neq 0$

$A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} = p_2 - 2(p_1 - 2p_2) = p_2 - 2p_1 + 4p_2 = -2p_1 + 5p_2 \neq 0$

$A\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} = -p_1 + 3p_2 + 2(p_1 - 2p_2) = -p_1 + 3p_2 + 2p_1 - 4p_2 = p_1 - p_2 \neq 0$

正しいかどうか判断できません。

3. 最終的な答え

不明