差が6である2つの整数について、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差が、12の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

差が6である2つの整数について、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差が、12の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

2つの整数を $x$ と $y$ とする。ただし、$x > y$ とする。

問題文より、$x - y = 6$ である。

大きい方の2乗から小さい方の2乗を引いた差は $x^2 - y^2$ である。

$x^2 - y^2$ を因数分解すると、

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

$x - y = 6$ を代入すると、

$x^2 - y^2 = (x + y) \cdot 6 = 6(x + y)$

ここで、$x$ と $y$ の和 $x + y$ が偶数であることを示す。

$x - y = 6$ より、$x = y + 6$ であるから、

$x + y = (y + 6) + y = 2y + 6 = 2(y + 3)$

$y$ が整数であるから、$y + 3$ も整数である。

したがって、$x + y$ は2の倍数、つまり偶数である。

$x + y = 2k$ （$k$ は整数）とおける。

このとき、$x^2 - y^2 = 6(x + y) = 6(2k) = 12k$

$k$ は整数なので、$12k$ は12の倍数である。

したがって、$x^2 - y^2$ は12の倍数である。

3. 最終的な答え

差が6である2つの整数について、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差は12の倍数である。