行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a, b, c$ は正の整数です。 (1) $A^2 = 3A$ が成り立つように、$a, b, c$ の値を求めます。 (2) (1)のとき、$A^n$ を $n$ および $A$ で表します。（$n$ は正の整数）

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a, b, c$ は正の整数です。

(1) $A^2 = 3A$ が成り立つように、$a, b, c$ の値を求めます。

(2) (1)のとき、$A^n$ を $n$ および $A$ で表します。（$n$ は正の整数）

2. 解き方の手順

(1) $A^2$ を計算し、$3A$ と比較して、$a, b, c$ の値を求めます。

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+ab & a+ac \\ b+bc & ab+c^2 \end{pmatrix}$

$3A = \begin{pmatrix} 3 & 3a \\ 3b & 3c \end{pmatrix}$

$A^2 = 3A$ より、

$1+ab = 3$

$a+ac = 3a$

$b+bc = 3b$

$ab+c^2 = 3c$

これらの式を整理すると、

$ab = 2$

$1+c = 3$

$1+c = 3$

$ab+c^2 = 3c$

$a, b$ は正の整数なので、$ab = 2$ を満たすのは、$(a, b) = (1, 2), (2, 1)$ のいずれかです。

また、$1+c = 3$ より、$c = 2$ です。

$ab+c^2 = 3c$ に $ab = 2, c = 2$ を代入すると、$2+4 = 6$ となり、これは成り立ちます。

したがって、$(a, b, c) = (1, 2, 2), (2, 1, 2)$ です。

(2) $A^2 = 3A$ より、

$A^3 = A^2 A = (3A)A = 3A^2 = 3(3A) = 3^2 A$

$A^4 = A^3 A = (3^2 A) A = 3^2 A^2 = 3^2 (3A) = 3^3 A$

同様に、$A^n = 3^{n-1} A$ と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

$n=1$ のとき、$A^1 = 3^{1-1} A = A$ なので成り立ちます。

$n=k$ のとき、$A^k = 3^{k-1} A$ が成り立つと仮定します。

$n=k+1$ のとき、

$A^{k+1} = A^k A = 3^{k-1} A \cdot A = 3^{k-1} A^2 = 3^{k-1} (3A) = 3^k A$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立ちます。

よって、$A^n = 3^{n-1} A$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $(a, b, c) = (1, 2, 2), (2, 1, 2)$

(2) $A^n = 3^{n-1} A$